例31.1某种产品的每件表面上的疵点数服从泊松國□ 分布,平均每件上有0.8个疵点规定疵点数不超过1个为一等 品价值10元疵点数大于1个不多于4个为二等品,价值8元疵 点数超过4个为废品,求(1)产品废品率(2)产品价值的平均值 解(1)设X表示每件产品上的疵点数,则X服从λ=0.8的泊松 分布EX=0.8产品的废品率为 4、0.8508=000141 P(X>4)=1-P(X≤4)=1-∑e k=0 (2)设产品的价值为随机变量Y,则Y的概率分布为 Y 10 0 P|P(xX<1)P(1<X<4)成X>4) EY=10×P(X≤1)+8×P(1<X4升0×P(X>4)=961元m 返回
返回 例3.1.1 某种产品的每件表面上的疵点数服从泊松 分布,平均每件上有0.8个疵点.规定疵点数不超过1个为一等 品,价值10元;疵点数大于1个不多于4个为二等品,价值8元;疵 点数超过4个为废品,求(1)产品废品率;(2)产品价值的平均值. 解 (1) 设X表示每件产品上的疵点数,则X服从λ=0.8的泊松 分布,EX=0.8,产品的废品率为 = − = − = − = 4 0 0.8 0.001412 ! 0.8 ( 4) 1 ( 4) 1 k k e k P X P X (2) 设产品的价值为随机变量Y,则Y的概率分布为 Y 10 8 0 P P(X≤1) P(1<X≤4) P(X>4) EY=10×P(X≤1)+8×P(1<X≤4)+0×P(X>4) =9.61元
例31.2某电子元件使用寿命xf(x)=1bDmx□ 0 <0 使用寿命在500小时以下为废品,产值0元:500到1000小时之间 为次品,产值10元;1000到1500小时之间为二等品,产值30 元1500小时以上为一等品,产值为40元,求产品的平均产值 解设Y表示产值,Y取值为0,10,30,40, P(Y0)P(X<500=(x=m1cmt=1e05 b1000 P(Y=10P500≤X<1000) 1000c=e03e 5001000 类似可得:P(Y=30)=e1-e-15,P(Y=40=e15 EY=0×(1e05)+10×(e05-e1)+30×(e1-e1.5)+40×e15 =1565(元) 返回
返回 例3.1.2 某电子元件使用寿命X~ = − 0 0 0 1000 1 ( ) 1000 x e x f x x 使用寿命在500小时以下为废品,产值0元;500到1000小时之间 为次品,产值10元;1000到1500小时之间为二等品,产值30 元;1500小时以上为一等品,产值为40元,求产品的平均产值. 解 设Y表示产值,Y取值为0,10,30,40, P(Y=0)= P(X<500) − = 500 f ( x )dx − = 500 0 1000 x e dx 1000 1 =1-e -0.5 P(Y=10)= P(500≤X<1000) − = 1000 500 1000 x e dx 1000 1 =e-0.5 -e -1 类似可得: P(Y=30)=e-1 -e -1.5 , P(Y=40)=e-1.5 EY=0× (1-e -0.5)+10 × (e-0.5 -e -1 )+30×( e-1 -e -1.5 )+40× e -1.5 =15.65(元)
(2)连续型随机变量的数学期望 定义设x是连续型随机变量x-(x)若」x(x)女 绝对收敛,则称该积分为X的数学期望,记为 EX- xf(x)dx 否则称X的数学期望不存在 例3.13若X服从[ab]区间上的均匀分布,求EX 解 x∈a b X-f(x)=b 0 其它 所以EX=x(x=x1bn212m b a+b b 返回
返回 定义 设X是连续型随机变量,X~f(x),若 + − xf( x )dx 绝对收敛,则称该积分为X的数学期望,记为: EX= + − xf( x )dx 例3.1.3 若X服从[a,b]区间上的均匀分布,求EX. = − 0 其它 [ , ] 1 ~ ( ) x a b X f x b a 所以 EX= + − xf( x )dx − = b a dx b a 1 x a b x 2 1 b a 1 2 − = 2 a + b = 解 否则称X的数学期望不存在. (2) 连续型随机变量的数学期望
例3.1.4设随机变量X服从参数为的指数分布,求EX 解X的概率密度函数为f(my=ea x>0 0 x<0 所以,X=上(x=2ea=xoe nx|+∞ 2x X re dx h e dx x→>+0e lim n dx x→)+0 类似计算可得:若X-N(μ,J2),则EX=p 返回
返回 例3.1.4 设随机变量X服从参数为λ的指数分布,求EX. 解 X的概率密度函数为 = − 0 0 0 ( ) x e x f x x 所以, EX= + − xf( x )dx + − = 0 xe dx x + − + − = − + 0 x e 0 e dx x x + − + 0 1 e dx x 类似计算可得: 若X~N(μ,σ2 ), 则EX= μ. 1 = + − = − 0 x x d( e ) x x e x = − →+ lim x x e 1 = lim − →+ + − + 0 1 e dx x
例31.5设随机变量X~f(x),EX=7/12,且 ax+b0≤x≤1 f(x) o其 求a与b的值,并求分布函数F(x 解 f(x)dx=l(ax+b)dx=0+b=1 a b 7 EX ∫ xf(x dx=Lx(ax+b )dx 3212 解方程组得a=1.b=1/2 当x<O时F(x)=0;当x1时F(x) 当0≤x<1时,F(x) X f(t=(t+)t=+ 0 X< 所以F(x) 0≤x< x≥1 返回
返回 例3.1.5 设随机变量X~f(x),EX=7/12,且 + = 0 其它 0 1 ( ) ax b x f x 求a与b的值,并求分布函数F(x). 解 1 2 ( ) ( ) 1 0 = + = + = + − b a f x dx ax b dx 12 7 3 2 ( ) ( ) 1 0 = = + = + = + − a b EX x f x dx x ax b dx 解方程组得 a=1,b=1/2 当x<0时,F( x)=0; 当0≤x<1时, 2 2 ) 2 1 ( ) ( ) ( 2 0 x x F x f t dt t dt x x = = + = + − 当x≥1时,F(x)=1; 所以 + = 1 1 0 1 2 2 0 0 ( ) 2 x x x x x F x