证]首先证明:Iim=A g(x) 利用柯西定理证明.引入辅助函数 F(xf(x)当x≠l时 0当x=a时 G(x)= ∫g(x)当x≠l时 0当=a时 在区间a,a+δ内任取一点x,考虑 闭区间a,x 2021/2/20 6
2021/2/20 6 A g x f x x a = → + ( ) ( ) 首先证明：lim = = 当 时 当 时 x a f x x a F x 0 ( ) ( ) = = 当 时 当 时 x a g x x a G x 0 ( ) ( ) [ , ]. [ , ) , a x a a x 闭区间 在区间 + 内任取一点 考 虑 [证] 利用柯西定理证明. 引入辅助函数
x a+s F(x)和G(x)在a,x止满足柯西定理条 件,于是在(a,x至少存在一点,使得 F(x)-F(a) F(5 (a<5<x) G(x)-G(a)G"(2) 因为F(a)=0,G(a)=0,又当x≠a时, (x)=f(x),G(x)=g(x),于是有 f(x)F(x)F'()f() a<c<x (x)G(x)G()g(5) 202l/2/2
2021/2/20 7 件 于是在 内至少存在一点 使 得 和 在 上满足柯西定理条 , ( , ) , ( ) ( ) [ , ] a x F x G x a x a x a + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a x G F G x G a F x F a = − − 于是有 因 为 又 当 时 ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) 0, ( ) 0, , F x f x G x g x F a G a x a = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a x g f G F G x F x g x f x = = =
令x→a,则ξ→a+,在上式两边 取极限得 lim f(x) f(5)=A x→ag(x)→a+g'(4) 同理可证 lim f(r x→ag(x) 于是证明了mf(x)=imnC"(x)=A 2021/2/20 x→ag(x)x→ng(x)
2021/2/20 8 取极限 得 令 则 在上式两边 , , , → + → + x a a A g f g x f x x a a = = → + → + ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim A g x f x x a = → − ( ) ( ) lim 同理可证 A g x f x g x f x x a x a = = → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) 于是证明了 lim
lim/(x) =0→lim f(x) =∞的证明 x→a g(x) x→ g(x) 只需证VG>0,6>0,只要0<x-a<a, 就有(x)>a f'(x) =0→ x-a 8(r) VG>0,6>0,只要0<x-ak, 就有 f() >G 2021/2/20 g(x)
2021/2/20 9 = = 的证明 → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim g x f x g x f x x a x a 只需证 G g x f x ( ) ( ) 就有 0, 0, 0 , G G 只要 x −a G G g x f x ( ) ( ) 就 有 = → ( ) ( ) lim g x f x x a 0, 0, 0 | | , G G 只 要 x − a G
因为F(a)=0,G(a)=0,又当x≠a时, F(x)=f(x),G(x)=g(x),于是有 利用柯西定理,有 f(x)_F(x)_F(x)-F(a)_f(5 g(x)G(x)G(x)G(a)g(5) 5介于x与之间f(G g() 于是,ⅤG>0,彐>0只要0<x-al<a, 就有(x >G 证毕 2021/2/20 g()
2021/2/20 10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g f G x G a F x F a G x F x g x f x = − − = = 利用柯西定理，有 介于x与a之间 G g f ( ) ( ) 于是有 因 为 又 当 时 ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) 0, ( ) 0, , F x f x G x g x F a G a x a = = = = G g x f x ( ) ( ) 就有 , 0, 0, 0 , 于是 G G 只要 x −a G 证毕