第七节斯托克斯( stokes)公式 环流量与旋度 四一、斯托克斯公式 四二、简单的应用 四三、物理意义一环流量与旋度 巴四、小结思考题
生一、斯托克斯( stokes).公式 定理为分段光滑的空间有向闭曲线是以 T为边界的分片光滑的有向曲面,T的正向与 的侧符合右手规则,函数P(x,y,z,Q(x,y,z) R(x,y,z)在包含曲醇在内的一个空间区域内具 有一阶连续偏导数,则有公式 ORoQ、 OP aR )dzdx+ a0 aP )dxdy ax a ∑ Os dydz oz ax =f Pdx+ody+ Rdz 斯托克斯公式 上页
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数P( x, y,z),Q( x, y,z), R( x, y,z)在包含曲面 在内的一个空间区域内具 有一阶连续偏导数, 则有公式 一、斯托克斯(stokes)公式 dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ( ) ( ) ( ) − + − + − = Pdx + Qdy + Rdz 斯托克斯公式
右手法则 ∑ T是有向曲面∑的 正向边界曲线 上证明如图 设Σ与平行于z轴的直线 ∑x=f(x,y) 相交不多于一点,并∑取 上侧,有向曲线C为∑的正 向边界曲线在xOy的投 y 影且所围区域Dyx 王页下
n 是有向曲面 的 正向边界曲线 右手法则 x y z o ( , ) : z = f x y Dxy C n 证明 设Σ与平行于z 轴的直线 相交不多于一点, 并Σ取 上侧,有向曲线 C 为Σ的正 向边界曲线 在 xoy 的 投 影.且所围区域Dxy . 如图
思路 曲面积分霾三重积分曲线积分 aP aP aP P dzdx ddv= cos B-ocos r )ds ∑ ay ∑ az 又 °cos β=-f,c0sy,代入上式得 aP aP dzdx-o dxdy=-ITo aPaP +of)cos yds ∑ ∑ ay az 上页
思路 曲面积分 1 二重积分 2 曲线积分 ds y P z P dxdy y P dzdx z P ( cos cos ) − = − 又 cos = − f y cos , 代入上式得f ds z P y P dxdy y P dzdx z P y ( )cos + = − −
apaP 即 aP 、OP +。f,)d ay ∑ ay a 0Px,y,f(x,y)=。,+ aPaP ay ∫ dy OZ crap P d ∑ az a Plx, y,f(,y)lda 上页
f dxdy z P y P dxdy y P dzdx z P y ( ) + = − − 即 P[x, y, f (x, y)]dxdy , y dxdy y P dzdx z P Dxy = − − y f z P y P P x y f x y y + = [ , , ( , )] 1