3）H(jの)/2在-0点1到2N-1阶导数零。称为最大平坦性(maximallyflatmagnitudefilter)在の=0点做Taylorseries展开[H(jo)° =1-(-)2N +(~)4N 0.0归一化的Butterworth滤波器(BWF1[Hro(jo) =1 +02N任意的BWF和归一化BWF的关系H(s) = HLo(s / @c)内蒙古科技大学崔丽珍
内蒙古科技大学 崔丽珍 在w=点做Taylor series展开 = − + N − c N c H 2 4 2 (j ) 1 ( ) ( ) w w w w w L N H j 2 2 0 1 1 ( ) w w + = 归一化的Butterworth滤波器(BWF) 任意的BWF和归一化BWF的关系 ( ) ( / ) L0 c H s = H s w 3) |H(jw)|2在w=点1到2N−1阶导数零。称为最大平坦性。 (maximally flat magnitude filter)
归一化Butterworth滤波器的极点条件：h(t)是实的 H(jの)=H*(-jの)H(s)H(-s)| s=jo = H(jo)H(-jo)=|H(jo)i1H(s)H(-s)=1 +(-js)2NSk =(-1)1/2N j = (e-jn+2 k μ1/2 N 极点： 2k-1j元(-2N2; k = 1,2...,2N=e共有2N个极点，为了保证系统的稳定，选左半平面的N个极点。内蒙古科技大学崔丽珍
内蒙古科技大学 崔丽珍 归一化Butterworth滤波器的极点 2 j ( ) ( ) (jw) ( jw) (jw) H s H −s s= w = H H − = H 条件：h(t)是实的 H( jw ) =H*(− jw ) N s H s H s 2 1 ( j ) 1 ( ) ( ) + − − = 极点： ( 1) j {e } j 1/ 2N jπ 2 πk 1/ 2N k s − + = − = N k N k e ; 1,2 ,2 ) 2 2 1 2 1 jπ ( = = − + 共有2N个极点，为了保证系统的稳定，选左 半平面的N个极点
2 k-11+j元 (22N;k = 1,2...,N为左半平面的N个极点Sk =e-2 k+1 2(N+1-k)-1j元(1-2)j元(-2 2 N22 N=e=eS n+1-k2k-1I- j元 (2 2N= Sk=e(s-$ )(s-st)=s? -2Re(s, )s+(sl(2k -1)元= s2 +2sin(s+l2N内蒙古科技大学崔丽珍
内蒙古科技大学 崔丽珍 s N k N k k e ; 1,2 , ) 2 2 1 2 1 jπ ( = = − + 为左半平面的N个极点 2 ) 2 2 ( 1 ) 1 2 1 jπ ( 1 e − + − − + + − = N N k N k s 2 2 ( )( ) 2Re( ) k k k k s − s s − s = s − s s + s ) 1 2 (2 1) 2sin( 2 + − = + s N k s ) 2 2 1 2 1 jπ ( e N − k+ − + = ) 2 2 1 2 1 jπ ( e N k− − + = k = s
·当N为偶数时N12H(s)=IIs? + 2(sin 0,)s +1k=1 0k =(2k -1)元/(2N)例: N=2,=元/4 ; k=10k =(2k -1)元/(2N)1H(s)= -$? +/2s+10 =(2k -1)元/8 =元 /8, 3 元 /8; k-1 ,2例: N=4,1H(s)= -(s2 +2sin(元/8)s+1)(s2 +2sin(3元/8)s+1)1(s2 + 0.7654 s +1)(s2 +1.8478 s +1)内蒙古科技大学崔丽珍
内蒙古科技大学 崔丽珍 •当N为偶数时 2(sin ) 1 1 ( ) 2 / 2 1 + + = = s s H s k N k (2k 1)π /(2N) k = − 例：N=2, (2k 1)π /(2N) k = − =/4 ; k=1 2 1 1 ( ) 2 + + = s s H s 例：N=4, k = (2k −1)π /8 = / 8 3 / 8; k=1 ,2 ( 2sin( π /8) 1)( 2sin(3π /8) 1) 1 ( ) 2 2 + + + + = s s s s H s ( 0.7654 1)( 1.8478 1) 1 2 2 + + + + = s s s s