北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第4章 不定积分 第5节 有理函数和可化为有理函数的积分

(3)混合法 A Bx+C (1+2x)1+x2) 1+2x 1+x2 4 A=(1+2x)·原 x= 15 分别令x=0,1代入等式两端 4 2 1= +C B -5 1-6 4 B+C 15 2 5 原式= BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 (3) 混合法  (1 2 )(1 ) 1 2 x x   x A 1 2 2 1 x Bx C   A  (1 2x)原式 2 1 x   5 4   C 5 4 1 15 2 4 6 1 B C   5 2 B   5 1 C  原式 = 1 2x 4 5 1         2 1 2 1 x x

四种典型部分分式的积分： 1j,。ds=n-+C 2j.a A x= -Xx-a+C(k>1为正整数) Mx+N-dx (x2+px+q) =2x+p 变分子为 当(2x+p)+V- 4.) Mx+N x 再分项积分 (p2-4g<0,k>1) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 四种典型部分分式的积分:  Aln x  a C C (k 1为正整数) k x a A k     1 (1 )( )   x x a A 1. d   x x a A k d ( ) 2.     x x px q M x N 3. d 2     x x px q M x N k d ( ) 4. 2 变分子为 (2 ) 2 x p M  2 M p  N  再分项积分 x p x px q      2 ( ) 2

dx 例4.5.4求 020+ 解：己 2s] 4 2x =-打2 ()garctamx-C BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例4.5.4 求 解: 已知 (1 2 )(1 ) 1 2  x  x    5 1 1 2x 4  2 1 2 x x       2 1 1 x      x x 1 2 d(1 2 ) 5 2 原式     2 2 1 d(1 ) 5 1 x x    2 1 d 5 1 x x ln 1 2x 5 2   ln(1 ) 5 1 2   x  arctan x C 5 1

说明：将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行， 但不一定简便，因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法 5*7-2 dx. 乐小 2x2+5 x+、+5x2+4 dx dx --+ X arctan arctan x C 2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束     x x x d ( 1)( 4) 2 2 ( 1) ( 4) 2 2 x   x  例4.5.5 求      x x x x x I d 5 4 2 5 4 2 3      x x x x d 5 4 2 5 4 2 2       5 4 d( 5 5) 2 1 4 2 4 2 x x x x ln 5 4 2 1 4 2  x  x  2 arctan 2 1 x   arctan x C 解: 说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法