证设F(x)是f(x)的一个原函数， [f(x)dx=F(b)-F(a), Φ(t)=F[p(, dF dx (0=dt =f(x)o'(0)=fφ(p'(), .()是f[p(t)小p'(t)的一个原函数. fp(t)lp'（(t)t=Φ（β）-Φ(
证 设F(x)是 f (x)的一个原函数， f (x)dx F(b) F(a), b a = − (t) = F[(t)], dt dx dx dF (t) = = f (x)(t) = f [(t)](t), (t)是 f[(t)](t)的一个原函数. [( )]( ) = () − (), f t t dt
p(a)=a、p(B)=b, Φ(B)-Φ(a)=F[p(B)川-FLp(a)1=F(b)-F(a), [f(xydx=F(b)-F(a) =Φ(B)-Φ(a）=ffp(tlo'(t)dt. 注意当a>B时，换元公式仍成立
() = a、( ) = b, ( ) − () = F[( )]− F[()]= F(b) − F(a), f (x)dx F(b) F(a) b a = − = ( ) − () f [ (t)] (t)dt. = 注意 当 时，换元公式仍成立
应用换元公式时应注意： (1) 用x=p(t)把变量换成新变量时，积分限也 相应的改变， (2)求出f[p(t)小0'(t)的一个原函数Φ(t)后，不 必象计算不定积分那样再要把Φ()变换成原 变量x的函数，而只要把新变量的上、下限 分别代入Φ(t)然后相减就行了
应用换元公式时应注意: （1） 用x = (t)把变量x 换成新变量t 时，积分限也 相应的改变. （2） 求出 f [(t)](t)的一个原函数(t)后，不 必象计算不定积分那样再要把(t)变换成原 变量x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限 分别代入(t)然后相减就行了
例2计算 「va2-x2 y=va-x X=心 解1由定积分的几何意义 [va-xdx 2 等于圆周的第一象限部分的面积= πa 4 解2a2-x2tk=a-+ X arcsin~+C 故Na2-x2dk= 元 4 0
计算 − a a x dx 0 2 2 解1 由定积分的几何意义 − a a x dx 0 2 2 等于圆周的第一象限部分的面积 4 2 a = 解2 C a a x a x x a − x dx = − + + arcsin 2 2 2 2 2 2 2 故 − a a x dx 0 2 2 4 2 a = x = a 2 2 y = a − x o 例2
解3令x=asint欣=acost x=0→t=0x=a→t=2 72 →ja2-x2k=了tcos2t 4 解4 令x=MC0st 仍可得到上述结果
令 − a a x dx 0 2 2 = 2 0 2 2 cos a tdt = + 2 0 2 (1 cos 2 ) 2 t dt a 4 2 a = 解4 令 x = acost 仍可得到上述结果 x = asin t dx = acost x = 0 t = 0 2 x = a t = 解3