最大值、最小值问题 在生产实践中，为了提高经济效益，必须要 考虑在一定的条件下，怎样才能是2用料最省， 费用最低，效率最高，收益最大等问题。这类问 题在数学上统统归结为求函数的最大值或最小值 问题。最值问题主要讨论问题的两个方面：最值 的存在性；最值的求法。 假定f(x)在[，b]上连续，除去有限个点外 处处可导，且至多有有限个点处导数为0。我们 就在这样的条件下讨论f(x)在[，b]上的最值 的求法
最大值、最小值问题 在生产实践中，为了提高经济效益，必须要 考虑在一定的条件下，怎样才能是2用料最省， 费用最低，效率最高，收益最大等问题。这类问 题在数学上统统归结为求函数的最大值或最小值 问题。最值问题主要讨论问题的两个方面：最值 的存在性 ；最值的求法。 假定f ( x )在[ a , b ]上连续，除去有限个点外 处处可导，且至多有有限个点处导数为0。我们 就在这样的条件下讨论f( x )在[ a , b ]上的最值 的求法
一、最值的求法 首先由闭区间上连续函数的性质f(x)在[M,b] 上必存在最大值和最小值 其次，若最大值（或最小值)在开区间内取得， 则这个最值一定是极值，由假定，这个点一定是 驻点或不可导点；此外最值也可能在区间的端点 处取得，故求连续函数在闭区间上最值的方法是
一、最值的求法 首先由闭区间上连续函数的性质f( x )在[ a , b ] 上必存在最大值和最小值 其次，若最大值（或最小值）在开区间内取得， 则这个最值一定是 极值，由假定，这个点一定是 驻点或不可导点；此外最值也可能在区间的端点 处取得，故求连续函数在闭区间上最值的方法是 o x y o x y a b o x y a b a b
步骤： 1.求驻点和不可导点； 2求区间端点及驻点和不可导点的函数值，比 较大小，那个大那个就是最大值，那个小那个就 是最小值； ymax=maxif(a),f(c),f(cm),f(d),f(d),f(b) (min) (min) 注意：如果区间内只有一个极值，则这个极值就 是最值.最大值或最小值)
步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值; max ( ), ( 1 ), , ( ), ( 1 ), , ( ), ( ) (min) max (min) y = f a f c f cm f d f dn f b 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
二、应用举例 例1求函数y=2x3+3x2-12x+14的在-3,4 上的最大值与最小值。 解f'(x)=6(x+2)(x-1) 解方程f'(x)=0,得1=-2，x2=1. 计算f(-3)=23; f(-2)=34; f(1)=7; f(4)=142; 2 1 例2求f(x)=x3-(x2-1)3在-2,2上的最值 2 解 3 3e2-0.2x
二、应用举例 例1 解 f (x) = 6(x + 2)(x −1) . 2 3 12 14 [ 3,4] 3 2 上的最大值与最小值 求函数 y = x + x − x + 的在 − 解方程 f (x) = 0,得 2, 1. x1 = − x2 = 计算 f (−3) = 23; f (−2) = 34; f (1) = 7; f (4) = 142; 例2 求 ( ) ( 1) 3在[ 2,2]上的最值 1 3 2 2 f x = x − x − − 解 f x x (x 1) 2x 3 1 3 2 ( ) 3 2 3 2 1 = − − − −
24 2(x2-103-x3 3 x3(x2-1)3 令f'(x)=0 得驻点x=± 2 (x2-1=-x2) 易知，在x=0,x=±1处f'(x)不存在 这些点处的函数值为： 0=】仕=日 11 f(±1)=1f(±2)=43-33 比较以上各点处的函数值可知
3 2 3 2 1 3 4 3 2 2 ( 1) ( 1) 3 2 − − − = x x x x 令 f (x) = 0 得驻点 2 1 x = ( 1 ) 2 2 x − = − x 易知，在x = 0, x = 1处 f (x)不存在 这些点处的函数值为： 3 1 3 1 3 1 ( 1) 1 ( 2) 4 3 ) 4 2 1 (0) 1 ( = = − = = f f f f 比较以上各点处的函数值可知