曲线的凹凸与与拐点 前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于 了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不 能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯 曲方向。 如右图所示L1,L2,L3 虽然都是从A点单调上升到 B点，但它们的弯曲方向却 不一样。 L1是“凸”弧，L2是“凹”弧L既有凸弧，色有 凹弧， 这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的
曲线的凹凸与拐点 前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于 了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不 能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯 曲方向。 o y x L3 L2 L1 A B 如右图所示L1 ，L2 ， L3 虽然都是从A点单调上升到 B点，但它们的弯曲方向却 不一样。 L1 是“凸”弧，L2是“凹”弧， L3既有凸弧，也有 凹弧， 这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的
曲线凹凸的定义 问题：如何研究曲线的弯曲方向？ y=f(x) y=f(x) x x X2 图形上任意弧段位 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 于所张弦的上方
一、曲线凹凸的定义 问题:如何研究曲线的弯曲方向? x y o x y o 1 x x2 y = f (x) 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 x y o y = f (x) 1 x 2 x 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 A B C
定义设f(x)在(，b)内连续，如果对(a,b)内任意 两点，恒有艺)<生) 2 那末称f(x)在(a,b)内的图形是凹的； 如果对(a,b)内任意两点x1,x2,恒有 克)≥生 2 那末称f(x)在(a,b)内的图形是凸的； 如果f(x)在[a,b内连续，且在(4，b)内的图形是凹 (或凸)的，那末称f(x)在[a,b]内的图形是凹或凸的；
定义 ( ) ( , ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 , , ( ( ) ( , ) , ( , ) 1 2 1 2 1 2 那末称 在 内的图形是凹的 两 点 恒 有 设 在 内连续 如果对 内任意 f x a b x x f x f x x x f f x a b a b + + ( ) ( , ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 ( ( , ) , , 1 2 1 2 1 2 那末称 在 内的图形是凸的 如果对 内任意两点 恒 有 f x a b x x f x f x f a b x x + + ( ) , ( ) [ , ] ( ) ; ( ) [ , ] , ( , ) 或 凸的 那末称 在 内的图形是凹或 凸的 如 果 在 内连续 且 在 内的图形是凹 f x a b f x a b a b
二、曲线凹凸的判定 y=f b b x f'()递增y">0 f'(x)递减y"<0 定理1如果f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有 二阶导数，若在(a,b)内 (1)"(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的； (2)f"(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的
二、曲线凹凸的判定 x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 递增 a b B A y 0 f (x) 递减 y 0 定理1 (2) ( ) 0, ( ) [ , ] . (1) ( ) 0, ( ) [ , ] ; , ( , ) ( ) [ , ] , ( , ) 则 在 上的图形是凸的 则 在 上的图形是凹的 二阶导数 若 在 内 如 果 在 上连续 在 内具有 f x f x a b f x f x a b a b f x a b a b
证明 (2)Vx1,x2∈(，b),X1<x2 记=当十，h=七，-x=2一x 2 对f(x)在x1,xo,七2上分别应用L一定理，得 f(xo)-f(x1)=f'(51)h(K1<51<x) f(x2)-f(x)=f'(52)h(x<52<x2) 两式相减，得 2f(x)-[f(x)+f(x2)】=[f'(5)-f'(52)h 由假设f"(x)<0→f'(x)在a,b内单调减 由51<52→f'(5)-f'(52)>0 → 2f(x)-[f(x1)+f(x21>0
证明 1 2 1 2 (2)x , x (a,b), x x 0 1 2 0 1 2 0 , 2 h x x x x x x x = − = − + 记 = 对f (x)在[x1 , x0 ],[x0 , x2 ]上 分别应用L—定理，得 f (x0 ) − f (x1 ) = f ( 1 )h ( ) x1 1 x0 f (x2 ) − f (x0 ) = f ( 2 )h ( ) x0 2 x2 两式相减，得 2 f (x0 ) −[ f (x1 ) + f (x2 )] = [ f ( 1 ) − f ( 2 )]h 由假设 f (x) 0 f (x)在[a,b]内单调减 由 1 2 f ( 1 ) − f ( 2 ) 0 2 f (x0 ) −[ f (x1 ) + f (x2 )] 0