二、 函数展开成幂级数 直接展开法一利用泰勒公式 展开方法 间接展开法一利用已知其级数展开式 1.直接展开法 的函数展开 由泰勒级数理论可知，函数f(x)展开成幂级数的步 骤如下 第一步求出x)的各阶导数， 第二步 求函数及其各阶导数在x=0处的值 第三步写出幂级数，并求出收敛半径R 第四步 判别在收敛区间(-R,R)内limR,(x)是否为 n>o∞ BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 函数 f (x)展开成幂级数的步 第一步 求出f(x)的各阶导数 ; 第二步 求函数及其各阶导数在x＝0处的值 ; 第四步 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim R (x) n n→ 是否为 骤如下 : 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 0. 的函数展开 第三步 写出幂级数，并求出收敛半径R
例10.4.1将函数f(x)=ex展开成x的幂级数 解：fm(x)=e,f(0)=1(n=1,2,2 故得级数 1+x+ 2 21 n 其收敛半径为 R=lim =十00 n-→o0 (n+1)月 对任何有限数x,其余项满足 n+l R,(x)= <exl x n->oo (n+1) (5在0与x之间) 故心=1+x+产+ 21 x”+…,x∈(-0，+0) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例10.4.1 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: ( ) e , (n) x f x = ( ) (0) 1 ( 1,2, ), n f n = = 1 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 e (n +1)! n+1 x x e 故 , ! 1 3! 1 2! 1 e 1 x = + + 2 + 3 ++ x n + n x x x → = n R lim ! 1 n ( 1)! 1 n + n → ( 在0与x 之间) + x 2 2! 1 + x 3 3! 1 + x ++ x n + n! 1 故得级数
例10.4.2将函数f(x)=sinx展开成x的幂级数 解：fm(x)=sin(x+n·5〉 o- n=2k (k=0,1,2,…） n=2k+1 得级数X-x3x5-+(-1”x21+… 其收敛半径为R=+∞，对任何有限数x,其余项满足 sin(5+(n+1)) n+1 IR () n0 (n+1)! (n+1)！ snx=x-京x+京x3-+(-1)” 十 x∈(-0，+00) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例10.4.2 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: ( ) = ( ) f x n (0) = (n) f 得级数: x 其收敛半径为 R = +, 对任何有限数 x , 其余项满足 sin( ( 1) ) 2 π + n + (n +1)! n+1 x n = 2k +1 (k = 0,1, 2, ) 3 3! 1 − x + −+ 5 5! 1 x 1 2 1 (2 1)! ( 1) + + n n n − + x sin x n → n = 2k ( 1) , k − 0 , 2 1 1 1 3 5 3! 5! (2 1)! ( 1) + + n n x n = − + − + − + x x x
2.间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质 将所给函数展开成幂级数 例10.4.4将函数 1+x2 展开成x的幂级数 解：因为 1=1+x+X2++x”+…(-1<x<1) 1- 把x换成-x2,得 1+x2=1-x+x-+(-1x2+… (-1<x<1) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 2. 间接展开法 1 1 x = − 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例10.4.4 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 因为 2 1 n + + + + + x x x (−1 x 1) 把 x 换成 2 −x = + 2 1 1 x 2 4 2 1 ( 1)n n − + − + − + x x x (−1 x 1) , 得 将所给函数展开成幂级数