3、函数在区间上的连续性 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续 连续函数举例 函数 sin X在区间(-∞,+∞)内是连续的 这是因为,函数 sin X在(-∞,+∞)内任意一点x处有定义, 并且 im△y=lim[sin(x+△x)-nx △x→>0 lim 2sin coS(x+0)=0 △x->0
函数 y=sin x 在区间(- +)内是连续的 这是因为 函数y=sin x在(- +)内任意一点x处有定义 并且 lim lim [sin( ) sin ] 0 0 y x x x x x D = +D − D → D → ) 0 2 cos( 2 lim 2sin 0 = D + D = D → x x x x 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续 •连续函数举例 3、函数在区间上的连续性
例1 设f(x)=2x2+1,求适合下列条件的函数的 改变量(增量)。 (1)x由1变到1.2(2)x由1变到0.8(3)x由1变到1+△x 解:(1)^y=f(1,2)-f(1) =[2×(1.2)+1]-(2×12+ 0.88 (2)△y=f(0.8)-f(1 [2×(0.8)+1-(2×1+1) 0.72 (3)Ay=f(1+Ax)-f(1) 2(1+Ax)2+1]-(2×12+ 4(△x)+2(△x)
1+ Dx 例1、 设 ，求适合下列条件的函数的 改变量（增量）。 （1） x 由1变到1.2 （2） x 由1变到0.8 （3） x 由1变到 ( ) 2 1 2 f x = x + （2） Dy = f (0.8) − f (1) [2 (0.8) 1] (2 1 1) 2 2 = + − + = −0.72 （3） Dy = f (1+ Dx) − f (1) [2(1 ) 1] (2 1 1) 2 2 = + Dx + − + 解：（1） Dy = f (1.2) − f (1) [2 (1.2) 1] (2 1 1) 2 2 = + − + = 0.88 2 = 4(Dx) + 2(Dx)
练习1 求函数y=-x2+x,当x=1,Ax=0.5 时的改变量。 解:x的初值为1,终值为1.5 △y=f(1.5)-f(1) (-1.5)2+×1.5]-(-12+ 2.5 =-225+==-2.25+1.25=-1
练习 1 、 求函数 ， 当 ， 时的改变量 。 y x x 2 2 1 = − + x = 1 Dx = 0.5 解： x 的初值为 1 ，终值为 1 . 5 Dy = f ( 1.5 ) − f ( 1 ) ) 21 1.5] ( 1 21 [( 1.5)2 2 = − + − − + 2.25 1.25 1 22.5 = −2.25+ = − + = −
x2x<2 例2讨论函数f(x)= x+2.x>2 在x=2处的连续性,并作出函数的图象。 解:根据定义的三个步骤进行验证 (1)f(x)的定义域是(-∞,+∞),故f(x)在 x=2及其附近有定义,f(2)=4 (2) lim f(x)=lim x=4 y x→>2 x→2 4 lim f(x)=lim(+2)=4 所以limf(x)=4 2 x→ (3)lmf(x)=f(2) x→>2 2-1123 X 符合定义的三个步骤。 因此f(x)在x=2处连续
例2 讨论函数 + = 2, 2 , 2 ( ) 2 x x x x f x 在 x = 2 处的连续性，并作出函数的图象。 解： 根据定义的三个步骤进行验证： （1） 的定义域是 ，故 在 及其附近有定义， ; f (x) (−,+) f (x) x = 2 f (2) = 4 （2） lim ( ) 2 f x x→ − 2 2 lim x x→ − = = 4 lim ( ) 2 f x x→ + lim ( 2) 2 = + → + x x = 4 所以 lim ( ) 4 2 = → f x x （3） lim ( ) (2) 2 f x f x = → 因此 f (x) 在 x = 2 处连续。 0 x 4 -2 -1 1 2 3 1 2 3 y 符合定义的三个步骤
例3适当选取a的值,使函数 (1+x)x,x<0 +ax≥0在x=0处连续 解:(1)f(x)的定义域是(-∞,+∞),在x=0 及其附近有定义f(0)=a (2) lim f(x)=lim(1+x)=e →0 x→>0 lim f(x)=lim(+aa 欲使f(x)在x=0处连续,须有Imf(x)=lmf(x) 即a=e,此时lmf(x)=e0 →>0 (3)imf(x)=f(0 所以a=e时,f(x)在x=0处连续
在 处连续。 例3 适当选取 a 的值，使函数 + + = , 0 (1 ) , 0 ( ) 1 x a x x x f x x x = 0 解： （1） 的定义域是 ，在 及其附近有定义 。 f (x) (−,+) x = 0 f (0) = a （2） lim ( ) 0 f x x→ − x x x 1 0 = lim (1+ ) → − = e lim ( ) 0 f x x→ + lim ( ) 0 x a x = + → + = a 即 ，此时 欲使 f (x) 在 x = 0 处连续，须有 lim ( ) lim ( ) 0 0 f x f x x x → − → + = a = e f x e x = → ( ) lim 0 （3） lim ( ) (0) 0 f x f x = → 所以 a = e 时，f (x) 在 x = 0 处连续