2、函数在一点处的连续性 定义如果 1)函数y=f(x)在x处及其近旁有定义; 2)lmf(x)存在; x→>x 3) lim f(x)=f(ro) 那么称函数f(x)在点x处连续,点x称为函数f(x) 的连续点
那么称函数 在点 处连续，点 称为函数 的 连续点。 f (x) 0 x 0 x f (x) 2、函数在一点处的连续性 定义 如果 （1）函数 y = f (x) 在 x0 处及其近旁有定义； （2） x lim →x0 f (x) 存在； （3） ( ) ( ) 0 lim 0 f x f x x x = →
2、函数在一点处的连续性 设函数y=f(x)在点x的某一个邻域内有定义,如果 lim Ay=0, lim f(x)=f(xo) △x→>0 x→x 那么就称函数y=f(x)在点x处连续 提示:△y=x+△x)/x) 设x=x0+△x,则当Ax→>0时,x->x,因此 imy=0今lim[f(x)-f(x)=0今imf(x)=f(x) △x->0 X-x
提示: lim 0 0 D = D → y x lim [ ( ) ( 0 )] 0 0 − = → f x f x x x lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 设x=x0+Dx 则当Dx→0时 x→x0 因此 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果 那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续 lim 0 0 D = D → y x 或 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim 0 0 D = D → y x 或 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → Dy=f(x0+Dx)−f(x0 ) lim 0 0 D = D → y x lim [ ( ) ( 0 )] 0 0 − = → f x f x x x lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim 0 0 D = D → y x lim [ ( ) ( 0 )] 0 0 − = → f x f x x x lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 2、函数在一点处的连续性
2、函数在一点处的连续性 设函数y=x)在点x的某一个邻域内有定义,如果 lim Ay=0, lim f(x)=f(xo) △x→>0 x→x 那么就称函数y=fx)在点x处连续 讨论 如何用sδ语言叙述函数的连续性定义? 提示 lim f(x)=f(ro) 台VE>0,30>0,当x-x<,有(x)/(x0)<E
讨论: 如何用e−d 语言叙述函数的连续性定义？ e >0 d >0 当|x−x0 |<d 有|f(x)−f(x0 )|<e 提示: lim ( ) ( )0 0 f x f x x x = → 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果 那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续 lim 0 0 D = D → y x 或 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim 0 0 D = D → y x 或 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 2、函数在一点处的连续性
2、函数在一点处的连续性 设函数y=f(x)在点x的某一个邻域内有定义,如果 lim Ay=0, lim f(x)=f(xo) △x→>0 x→x 那么就称函数y=f(x)在点x处连续 左连续与右连续 如果limf(x)=f(x0),则称yf(x)在点x0处左连续 如果limf(x)=f(x),则称y=f(x)在点x处右连续 x→>x0 结论 函数y=f(x)在点x处连续令函数f(x)在点x处左连续且右 连续
• 左连续与右连续 •结论 函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连续且右 连续 如果 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → − 则称 y=f(x)在点 0 x 处左连续 如果 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → + 则称 y=f(x)在点 0 x 处右连续 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果 那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续 lim 0 0 D = D → y x 或 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim 0 0 D = D → y x 或 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 2、函数在一点处的连续性
3、函数在区间上的连续性 (1)如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都连续, 称函数f(x)在(a,b)内连续 (2)函数的左连续、右连续:设函数y=f(x)在x0处 及其左(或右)近旁有定义,如果limf(x)=f(x0) (或lmf(x)=f(x)),那么称函数f(x)在x左连 续(或右连续) 如果f(x)在开区间(a,b)内连续,且在右端点b 处左连续,在左端点a处右连续,那么称函数f(x)在 闭区间[a,b]上连续。 连续函数的图象是一条连续不间断的曲线
（2）函数的左连续、右连续：设函数 在 处 及其左（或右）近旁有定义，如果 （或 ），那么称函数 在 左连 续（或右连续）。 y = f (x) 0 x ( ) ( ) 0 lim 0 f x f x x x = → − ( ) ( ) 0 lim 0 f x f x x x = → + f (x) 0 x （1）如果函数 在开区间 内每一点都连续， 称函数 在 内连续。 f (x) f (x) (a,b) (a,b) 3、函数在区间上的连续性 如果 在开区间 内连续，且在右端点 处左连续，在左端点 处右连续，那么称函数 在 闭区间 上连续。 f (x) (a,b) b a f (x) [a,b] 连续函数的图象是一条连续不间断的曲线