练习2 用定义讨论函数 x+1,x≤0 f(x) ex>o 在x=0处的连续性并作图 解:由定义的三个步骤进行验证: 1)x∈(-∞,+∞),f(0)=1 (2) lim f(x)=l, lim f(x) x→>0- x>0 所以,limf(x)=1 x-20 X (3) limf(x)=f(1 函数f(x)在x=0处连续
练习2 用定义讨论函数 + = , 0 1, 0 ( ) e x x x f x x 在 x = 0 处的连续性并作图。 解：由定义的三个步骤进行验证： （1） x(−,+), f (0) =1 （2） ( ) 1, ( ) 1 0 0 0 lim lim _ = = = → → + f x f x e x x 所以， lim ( ) 1 0 = → f x x （3） lim ( ) (1) 0 f x f x = → 函数 f (x) 在 x = 0 处连续。 1 -1 x y 0
定理1基本初等函数在其定义域内都是连续的 二、函数的间断点 如果函数y=f(x)在x处不连续,那么称函数 f(x)在x处是间断的,并称点x。为函数f(x)的间 断点或不连续点。 由函数f(x)在x处连续的定义知,当函数f(x) 有下列三种情形之一时,函数f(x)在x0处间断。 (1)在x=x近旁有定义,但在x处没有定义 (2)虽在x处有定义,但mf(x)不存在。 (3)虽在x处有定义,且lmf(x)存在,但 imnf(x)≠f(x0) x→>x0
二、 函数的间断点 如果函数 在 处不连续，那么称函数 在 处是间断的，并称点 为函数 的间 断点或不连续点。 y = f (x) 0 x f (x) 0 x 0 x f (x) 由函数 在 处连续的定义知，当函数 有下列三种情形之一时，函数 在 处间断。 f (x) 0 x f (x) f (x) 0 x （1）在 x = x0 近旁有定义，但在 x0 处没有定义。 （2）虽在 x0 处有定义，但 x lim →x0 f (x) 不存在。 （3）虽在 x0 处有定义，且 x lim →x0 f (x) 存在，但 ( ) ( )0 lim 0 f x f x x x → 定理1 基本初等函数在其定义域内都是连续的
今间断点的类型 通常把间断点分成两类: 设x是函数f(x)的间断点,如果左极限f(x0-)及右极限 f(x0+)都存在,那么x称为函数f(x)的第一类间断点 不属于第一类间断点的间断点,称为第二类间断点 在第一类间断点中,左、右极限相等者称为可去间断 点,不相等者称为跳跃间断点 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点 注 若函数f(x)在点x的左,右极限都存在,但limf(x)≠limf(x) x→>x0 则称点x为函数f(x)的跳跃间断点
通常把间断点分成两类 设 x0是函数f(x)的间断点 如果左极限f(x0 -)及右极限 f(x0 +)都存在 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点 不属于第一类间断点的间断点 称为第二类间断点 在第一类间断点中 左、右极限相等者称为可去间断 点 ❖间断点的类型 注: ( ) , ( ) . lim ( ) , ( ) 0 0 0 0 则称 为 的可去间断点 若 而 在点 无定义 或有定义但 f x A x f x f x A f x x ， x x = → 不相等者称为跳跃间断点 注: ( ) . ( ) , , lim ( ) lim ( ), 0 0 0 0 则称点 为函数 的跳跃间断点 若函数 在点 的左 右极限都存在 但 x f x f x x f x f x x x x x → + → − 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点
例如: x2-4 (1)函数f(x) 在x=2处无定义1 2 y=f(x) 所以x=2是该函数的间断点。 X x+1.x<0 (2)函数f(x)={1 x>0 在x=0处有定义,但 X imnf(x)=1limf(x)=+∞ x->0 x→ imf(x)不存在。所以,x=0是该函数的间断点
（2）函数 在 处有定义，但 不存在。所以， 是该函数的间断点。 + = , 0 1 1, 0 ( ) x x x x f x x = 0 lim ( ) 1 0 = → − f x x = + → + lim ( ) 0 f x x lim ( ) 0 f x x→ x = 0 例如： （1）函数 在 处无定义 所以 是该函数的间断点。 2 4 ( ) 2 − − = x x f x x = 2 x = 2 -2 2 2 y 0 x y = f (x) 1 -1 x y 0
x.x≠1 (3)函数∫(x) 2=1,在x=1处有定义, f(1)=且imf(x)=1, 但lmf(x)≠f(1) 所以x=1是该函数的间断点
(3) 函数 ，在 处有定义， 且 ， 但 所以 是该函数的间断点。 = = , 1 2 1 , 1 ( ) x x x f x x =1 2 1 f (1) = lim ( ) 1 1 = → f x x lim ( ) (1) 1 f x f x → x =1 x y 1 2 1 0 1