例2求y2=2x及y=x-4所围成图形面积 解作图(如下图) y+dy B 求出交点坐标为4(2,-2),B(8,4).观察图得知,宜取 y为积分变量,y变化范围为[-2,4](考虑一下,若 取x为积分变量,即竖条切割,有什么不方便之处), 于是得dA=(y+4)-y2d A=(y+4)-y2dy=y2+4y-2y2 18
例 2 求 y 2x 2 及 y x 4所围成图形面积. 解 作图（如下图） 求出交点坐标为A(2,2),B(8,4). 观察图得知，宜取 y为积分变量， y 变化范围为[–2，4]（考虑一下，若 取 x为积分变量，即竖条切割，有什么不方便之处）， 于是得 ]d , 2 1 d [( 4) 2 A y y y 18. 6 1 4 2 1 ]d 2 1 [( 4) 4 2 4 2 2 2 3 A y y y y y y O y B A 4 -2 y x y+dy
2.极坐标下的面积计算 曲边扇形:是指由曲线r=r(0)及两条射线O=a,O=B所围 成的图形(如右下图) 取为积分变量,其变化范围为[a,B],在微小区间[0,0+d0] 上“以常代变”,即以小扇形面积dA作为小曲边扇形面积的近似 值,于是得面积微元为 dA=r(o)de 将d4在[a,B上积分,便得曲边 r(0) 扇形面积为 I cB (6)d6. 囻
2. 极坐标下的面积计算 曲边扇形：是指由曲线r r( )及两条射线 , 所围 成的图形（如右下图）. 取 为积分变量，其变化范围为[, ]，在微小区间 [, d ] 上“以常代变” ，即以小扇形面积 dA作为小曲边扇形面积的近似 值，于是得面积微元为 ( )d , 2 1 d 2 A r 将dA在[, ]上积分,便得曲边 扇形面积为 ( )d . 2 1 2 A r O x r r(θ) d
例4计算双纽线r2=a2cos20(a>0)所围成的图形 的面积(如下图所示) 0=% 解由于图形的对称性,只需求其在第一象限中的面积 再4倍即可,在第一象限θ的变化范围为[0.],于是 4 a cos 20de=a sin 20 囻
例 4 计算双纽线 cos2 ( 0) 2 2 r a a 所围成的图形 的面积（如下图所示）. 解 由于图形的对称性，只需求其在第一象限中的面积， 再 4 倍即可，在第一象限 的变化范围为 ] 4 π [0, ，于是 π π 4 2 2 2 4 0 0 1 4 cos 2 d sin 2 . 2 A a a a O a y x π θ 4
例5求心形线r=1+c0s6及圆r=3cos所围成的阴影 部分面积(如右下图) 解先求两线交点,以确定θ的变化范围,解方程组 r=1+cose r=3cos0 r=cost 由3c0s6=1+cos得cosb=,故 r=l+cos0 考虑到图形的对称性,得所求 面积为 A=250(+C050)d0+5[2(3cos 0)de 囻
解 先求两线交点，以确定 的变化范围，解方程组 1 cos , 3cos . r r 由3cos 1 cos 得 2 1 cos ，故 3 π ，考虑到图形的对称性，得所求的 面积为 O 2 x 3 r 3cosθ r 1cos 3 π 0 2 π 3 π 2 2 (3cos ) d 2 1 (1 cos ) d 2 1 A 2 例 5 求心形线 r 1 cos 及圆r 3cos 所围成的阴影 部分面积（如右下图）
1+ cos 20 (1+2cos6 d0+=2(1+cos26)dO 2 0+2sin 0+sin 20 6+-sin20 三、用定积分求体积 1.平行截面面积为已知的立体体积 设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求,则该物体 可用定积分求其体积 囻
3 π 0 2 π 3 π (1 cos2 )d 2 9 )d 2 1 cos2 (1 2cos 2 π 3 π 3 π 0 sin 2 2 1 2 9 sin 2 4 1 2sin 2 3 π. 4 5 1. 平行截面面积为已知的立体体积 设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体 可用定积分求其体积. 三、用定积分求体积