Ch3 §3独立性 在第一章里面讨论了事件的相互独立性,现在要在这个基础上,进一步 讨论随机变量的相互独立性。 定义设X1,…,Xn是概率空间(Ω,,P)上的n个随机变量,称它们 是相互独立的如果对任意n个实数x1,……,xn都有 P(X1≤ Xn≤xn)=P(X1)…P(Xn 实际上,随机变量的独立性也是事件的独立性,上式等价于事件{ r1},……,{Xn≤xn}相互独立 关于随机变量的相互独立有下面的性质: 如果X1,…,Xn相互独立,f1(x),…,fn(x)都是一元 Borel可测函数, 则f1(X1),…,fn(Xn)也是相互独立的 对于连续型随机变量X1,……,Xn,设其密度函数分别p1(x1),…,pn(xn), Xn相互独立 →1(x)是(x1,…,X)的联合密度 上一节给出了二元正态分布的边缘分布,现在来看它的两个分量何时独 例31设(X,Y)~N(1,2,02,02,p,则X,Y相互独立的充要条件 是p=0 证X,Y的边缘密度函数分别为 Px(a) },B(y) 当p=0时,有 (, y)=px(r)pr(y) 可知X,Y相互独立,充分性得证
Ch3 1 §3 ✂✁✂✄ ☎✂✆✂✝✂✞✂✟✂✠✂✡✂☛✂☞✂✌✂✍✂✎✂✏✂✑✓✒✂✔✓✕✗✖✙✘✂☎✓✚✂☎✓✛✂✜✓✢✂✣✓✤✗✖✙✥✂✝✓✦ ✡✂☛✂✧✂★✂✩✂✪✂✎✂✏✂✑✂✒✓✔✓✕✬✫ ✭✂✮ ✯ X1, · · · , Xn ✰✂✱✂✲✂✳✵✴ (Ω, F, P) ✤✂✎ n ✜✂✧✂★✂✩✂✪✬✖✷✶✂✸✂✹ ✰ ✏✂✑✂✒✂✔✂✎✂✺✂✻✂✼✂✽✓✾ n ✜✂✿✂❀ x1, · · · , xn ❁✂❂ P(X1 6 x1, · · · , Xn 6 xn) = P(X1)· · ·P(Xn). ✿❄❃❄✤✬✖❅✧❄★✂✩✂✪✓✎✂✒✂✔✓✕✂❆✰ ✌✓✍✂✎✂✒✓✔✂✕✗✖❇✤✂❈✓❉✂❊✂❋✓✌✂✍ {X1 6 x1}, · · · , {Xn 6 xn} ✏✂✑✂✒✂✔✬✫ ●✂❋✂✧✂★✂✩✂✪✂✎✂✏✂✑✂✒✂✔❂✂❍✠✓✎✂✕✓■❑❏ ✺❄✻ X1, · · · , Xn ✏❄✑❄✒❄✔✬✖ f1(x), · · · , fn(x) ❁❄✰✝❄▲ Borel ▼❄◆❄❖❀✬✖ P f1(X1), · · · , fn(Xn) ❆ ✰ ✏✂✑✂✒✂✔✂✎✬✫ ✼◗❋◗❘◗❙◗❚◗✧◗★◗✩◗✪ X1, · · · , Xn ✖❯✯◗❱◗❲◗❳❖❀◗❨❄❩ p1(x1), · · · , pn(xn) ✖ P X1, · · · , Xn✏✂✑✂✒✂✔ ⇐⇒ Yn i=1 pi(xi)✰(X1, · · · , Xn)✎✂❬✂❭✂❲✂❳. ✤❄✝❄❪❄❫❵❴❛☞❄❜✂▲✂❝✂❞✂❨✂❡❄✎✂❢✂❣✂❨✂❡✗✖❤✘✂☎✂✐✂❥✂✸✂✎✂❦✂✜✂❨✂✪✂❧✂♠✂✒ ✔✬✫ ♥ 3.1 ✯ (X, Y ) ∼ N(µ1, µ2, σ 2 1 , σ 2 2 , ρ ✖♦P X, Y ✏✂✑✂✒✂✔✂✎✂♣✂✚✓q✓✍ ✰ ρ = 0 ✫ r X, Y ✎✂❢✂❣✂❲✂❳❖❀✂❨✂❩✂s PX (x) = 1 √ 2πσ1 · exp − (x − µ1) 2 2σ 2 1 , PY (y) = 1 √ 2πσ2 · exp − (y − µ2) 2 2σ 2 2 . t ρ = 0 ♠✬✖ ❂ p(x, y) = pX(x)pY (y). ▼✂✉ X, Y ✏✂✑✂✒✂✔✬✖✙♣✂❨✂✕✓✈✂✇✗✫ 1
若X,Y相互独立,由于p(x,y),px(x),py(y)都是连续函数,故对任意 的(x,y)都有 (x)·p(y)=p(x,y) 特别的取(X,Y)=(1,p2),有 2丌a1022mo1o2V1-p2 由此推出p=0,必要性得证 这里用到了密度函数一个性质:如果p1(x,y),p2(x,y)都是(X,Y)的密 度函数,且它们都在(xo,o)处连续,则必有 P1(xo,3o)=p2(x0,30) 84随机向量函数及其分布 设n维随机向量X=(X1,……,Xn)的联合分布函数为Fx(x1,…,xn) Y1=91(X1 X Y2=g2(X1, Xn) 其中9(x1,…,xn),i=1,……,m都是m元Bore可测函数,现在要求出m 维随机向量Y=(Y1,…,Ym)的联合分布函数F(1,……,m) 一般的解法如下:记C={(x1,…,xn)9(x1,…,xn)≤,i=1,……,}, 则 Fy(1,……,wm)=P(1(X1,…,Xn)≤,…,9m(X1,…,Xn)≤m) P(X1,…,Xn)∈C) 当X有联合密度p(x1,…,xn)时,有 F p(an
Ch3 2 ① X, Y ✏✂✑✂✒✂✔✗✖③②④❋ p(x, y), pX(x), pY (y) ❁✂✰❘✂❙❖❀✗✖♦⑤✂✼✓✽✓✾ ✎ (x, y) ❁✂❂ pX(x) · pY (y) = p(x, y) ⑥❩✂✎✂⑦ (X, Y ) = (µ1, µ2) ✖ ❂ 1 2πσ1σ2 = 1 2πσ1σ2 p 1 − ρ 2 . ②④⑧✂⑨✵❴ ρ = 0 ✫✙⑩✂✚✂✕✂✈✂✇✬✫ ✛✂✟✂❶✂❷✂☞✂❲✂❳❖❀✂✝✂✜✂✕✓■❑❏✙✺✂✻ p1(x, y), p2(x, y) ❁✂✰ (X, Y ) ✎✂❲ ❳ ❖❀✬✖✙❸✂✸✂✹❁ ☎ (x0, y0) ❹❘✂❙✬✖✙P✂⑩❂ p1(x0, y0) = p2(x0, y0). §4 ❺✂❻✂❼✂❽✂❾✂❿✂➀✂➁✂➂✂➃ ✯ n ➄ ✧❄★❵➅❛✪ X = (X1, · · · , Xn) ✎❄❬❄❭❄❨❄❡❖❀✂s FX (x1, · · · , xn) ✖ ➆ Y1 = g1(X1, · · · , Xn), Y2 = g2(X1, · · · , Xn), · · · Ym = gm(X1, · · · , Xn), ❱✵➇ gi(x1, · · · , xn), i = 1, · · · , m ❁✂✰ n ▲ Borel ▼✂◆✂❖❀✬✖✙✘✂☎✂✚✓➈➉❴ m ➄ ✧✂★✵➅④✪ Y = (Y1, · · · , Ym) ✎✂❬✂❭✂❨✂❡❖❀ FY (y1, · · · , ym) ✫ ✝◗➊◗✎◗➋◗➌◗✺❍ ❏❯➍ C = {(x1, · · · , xn)|gi(x1, · · · , xn) 6 yi , i = 1, · · · , } ✖ P FY (y1, · · · , ym) = P(g1(X1, · · · , Xn) 6 y1, · · · , gm(X1, · · · , Xn) 6 ym) = P((X1, · · · , Xn) ∈ C). t X ❂❬✂❭✂❲✂❳ p(x1, · · · , xn) ♠✬✖ ❂ FY (y1, · · · , ym) = Z · · · Z C p(x1, · · · , xn)dx1 · · · dxn. 2
Ch3 下面给出几个例子 例41设(X,Y)的联合密度为p(x,y),求Z=X+Y的分布 解直接计算Z的分布函数 Fz(2)=P(X+Y≤2) p(a, y)d xdy ar/ P(a, y)dy p(a, u-a)du 这表明Z具有密度函数 Pz(2) p(a, 2-a)dz 由对称性可知n2(2)=/p(2-,y)y 例42设X,Y相互独立,且都服从分布N(,a2),求X+Y的分布 密度函数g(2) 解由上例直接计算可得 √2r2a 这表明X+Y~N(24,2a2) 例43设X,Y相互独立且都服从分布N(0,1),求Z=√X2+Y2的 分布密度 解用极坐标变化 r=rcos e ≥0,0≤6≤26 y=rsin g
Ch3 3 ❍ ✠✂❫✵❴④➎✂✜✂➏✂➐✬✫ ♥ 4.1 ✯ (X, Y ) ✎✂❬✂❭✂❲✂❳✂s p(x, y) ✖✙➈ Z = X + Y ✎✂❨✂❡✬✫ ➑ ➒✂➓✂➔✂→ Z ✎✂❨✂❡❖❀ FZ(z) = P(X + Y 6 z) = ZZ x+y6z p(x, y)dxdy = Z ∞ −∞ dx Z z−x −∞ p(x, y)dy = Z ∞ −∞ dx Z z −∞ p(x, u − x)du = Z z −∞ du Z ∞ −∞ p(x, u − x)dx ✛✂➣✵↔ Z ↕❂ ❲✂❳❖❀ pZ(z) = Z ∞ −∞ p(x, z − x)dx. ②④✼✂✶✂✕▼✂✉✖ pZ (z) = Z ∞ −∞ p(z − y, y)dy ✫ ♥ 4.2 ✯ X, Y ✏✂✑✂✒✂✔✗✖♦❸❁✓➙✓➛❨✓❡ N(µ, σ 2 ) ✖♦➈ X + Y ✎✂❨✂❡ ❲✂❳❖❀ g(z) ✫ ➑ ②④✤✂➏✂➒✂➓✂➔✂→▼ ✈ g(z) = 1 √ 2π √ 2σ · exp − (z − 2µ) 2 4σ 2 . ✛✂➣✵↔ X + Y ∼ N(2µ, 2σ 2 ) ✫ ♥ 4.3 ✯ X, Y ✏✂✑✂✒✂✔✂❸❁✂➙✂➛❨✂❡ N(0, 1) ✖➜➈ Z = √ X2 + Y 2 ✎ ❨✂❡✂❲✂❳✬✫ ➑ ❶✂➝✂➞✂➟✂✩✂➠ ( x = r cos θ, y = r sin θ, r > 0, 0 6 θ 6 2θ. 3
Ch3 Fz(2)=P(√x2+Y2≤2) 1 +y2)dcdy dr 因此 0. 其它 这个分布称为 Rayleigh分布。 上面的都是2→1的情形,下面要讨论n→n的情形,以n=2为例 设(X,Y)有联合密度p(x,y),且区域A(可以使全平面)满足P(X,Y)∈ A)=1;对变换(△) u=f(a, y), 当(x,y)∈A时,(u,v)的值域为G,且(△)满足 (1)A→G是一一对应的; (2)f,g在A中有连续偏导数; 在A中处处不为0; 则U(=f(X,Y),V(=9(X,Y)具有联合密度函数: (un,v)∈G; qu, u) p(a(u, u),y(u, u)) 其它 其中,x(u,v),y(u,)是由(△)决定的反函数,而 为相应的雅可比行 列式 例44设X,Y相互独立,且都服从N(0,1),(R,)是平面上随机点 (X,Y)相应的极径、极角,即有 X=Rcos e R≥0,0≤日≤2 Y=Rsin e
Ch3 4 FZ(z) = P( √ X2 + Y 2 6 z) = ZZ √ X2+Y 26z 1 2π · exp − 1 2 (x 2 + y 2 ) dxdy. = Z 2π 0 Z z 0 1 2π e − r 2 2 rdr = Z z 0 re − r 2 2 dr ➡⑧✬✖ pZ(z) = ( ze − z 2 2 , z > 0; 0, ❱✂✸. ✛✂✜✂❨✂❡✂✶✂s Rayleigh ❨✂❡✬✫ ✤❄✠❄✎❁❄✰ 2 → 1 ✎❄➢❄➤✬✖ ❍ ✠✂✚✂✡✂☛ n → n ✎❄➢❄➤✬✖➦➥ n = 2 s❄➏✬✫ ✯ (X, Y ) ❂❬◗❭◗❲◗❳ p(x, y) ✖❯❸❑➧➩➨ A ➫➭▼➥◗➯◗➲◗➳◗✠✵➵➺➸❄➻ P((X, Y ) ∈ A) = 1 ➼ ✼✂✩✂➽ (∆) ➼ ( u = f(x, y), v = g(x, y), t (x, y) ∈ A ♠✬✖ (u, v) ✎✂➾✂➨✂s G ✖✙❸ (∆) ➸✂➻✗❏ (1) A (∆) −→ G ✰ ✝✂✝✂✼✂➚✂✎ ➼ (2) f, g ☎ A ➇❂❘✂❙✂➪✂➶✂❀➼ (3) ∂(u, v) ∂(x, y) ☎ A ➇❹✂❹✂➹s 0 ➼ P U(= f(X, Y )), V (= g(X, Y )) ↕❂❬✂❭✂❲✂❳❖❀✗❏ q(u, v) = p(x(u, v), y(u, v)) ∂(x, y) ∂(u, v) , (u, v) ∈ G; 0, ❱✂✸. ❱❵➇➘✖ x(u, v), y(u, v) ✰ ② (∆) ➴❄➷✎❄➬❖❀✗✖ ➆ ∂(u, v) ∂(x, y) s❄✏❄➚❄✎❄➮▼✵➱④✃ ❐❈✬✫ ♥ 4.4 ✯ X, Y ✏✂✑✂✒✂✔✗✖❒❸❁❮➙✓➛ N(0, 1) ✖ (R, Θ) ✰➳✂✠✂✤✂✧✓★✓❰ (X, Y ) ✏✂➚✂✎✂➝✂Ï✬Ð✙➝✂Ñ✗✖➜Ò❂ ( X = R cos Θ, Y = R sin Θ, R > 0, 0 6 Θ 6 2π. 4
求(R,O)的联合密度。 解(X,Y)到(R,O)的变换(△)为 R=√X2+Y2, e= arctan 相应的雅可比行列式 0(u,v)1 d(a, y) 0(u,v) 于是,(R,)的联合密度函数为 d(a, y) 0(u,v) >0,0<6 还可以看出,R和是相互独立的,R服从 Rayleigh分布,而6服从(0,2丌) 上的均匀分布。 这个例子的结果还可以用来产生独立的两个正态随机数,具体方法如 下:先产生两个相互独立的(0,1)的均匀分布的随机数U1,U2,然后取 X=(2InU1)2 cos 2TU Y=(-2InU12 sin 2 则X,Y是相互独立的N(0,1)随机数。 接下来高维正态分布的线性函数的分布 定理设X~N(μ,∑),B是任一n阶非退化矩阵,则 Y=BX~N(B1,B∑B) 证明直接计算Y的分布函数可得 再给出一个关于高维正态分布的边缘分布函数的定理 定理设X~N(μ,∑),若 ∑10
Ch3 5 ➈ (R, Θ) ✎✂❬✂❭✂❲✂❳✬✫ ➑ (X, Y ) ❷ (R, Θ) ✎✂✩✂➽ (∆) s R = √ X2 + Y 2 , Θ = arctan Y X , ✏✂➚✂✎✂➮▼✵➱④✃❐❈ ∂(u, v) ∂(x, y) = 1 r . ∂(x, y) ∂(u, v) = r. ❋✰ ✖ (R, Θ) ✎✂❬✂❭✂❲✂❳❖❀✂s q(r, θ) = 1 2π · e − 1 2 (x 2+y 2 ) ∂(x, y) ∂(u, v) = 1 2π · e − 1 2 r 2 · r, r > 0, 0 < θ < 2π. Ó ▼ ➥◗❥❑❴➘✖ R Ô Θ ✰ ✏◗✑◗✒◗✔❄✎✬✖ R ➙◗➛ Rayleigh ❨◗❡Õ✖ ➆ Θ ➙◗➛ (0, 2π) ✤✂✎✂Ö✂×✂❨✂❡✬✫ ✛❮✜❮➏❮➐❮✎❮Ø❮✻Ó ▼ ➥Õ❶Õ✐❮ÙÕÚÕ✒❮✔Õ✎Õ❦Õ✜❮❝Õ❞Õ✧❮★Õ❀❵✖ ↕ÕÛÕÜ➌Õ✺ ❍ ❏✷Ý✂Ù✂Ú✂❦✂✜✂✏✓✑✓✒✂✔✓✎ (0, 1) ✎✂Ö✂×✂❨✂❡✂✎✂✧✂★✂❀ U1, U2 ✖✙Þ✂ß✂⑦ X = (−2lnU1) 1 2 cos 2πU2, Y = (−2lnU1) 1 2 sin 2πU2, P X, Y ✰ ✏✂✑✂✒✂✔✂✎ N(0, 1) ✧✂★✂❀✬✫ ➓ ❍ ✐✂à➄ ❝✂❞✂❨✂❡✂✎✂á✓✕❖❀✓✎✂❨✓❡✗✫ ✭✂â ✯ X ∼ N(µ, Σ) ✖ B ✰ ✽✂✝ n ã✂ä✂å➠✂æ✵ç➘✖✙P Y = BX ∼ N(Bµ, BΣB 0 ). ✇✵↔④➒✂➓✂➔✂→ Y ✎✂❨✂❡❖❀ ▼ ✈✬✫ è✂❫✵❴④✝✂✜✂●✂❋✂à➄ ❝✂❞✓❨✂❡✓✎✓❢✂❣✓❨✂❡❖❀✂✎➷✓é✫ ✭✂â ✯ X ∼ N(µ, Σ) ✖ ① Σ = Σ1 0 0 Σ2 ! , 5