第三章导数与微分 第一节导数的概念 第二节求导法则 第三节微分及其在近似计算中的应用
第三章 导数与微分 第二节 求导法则 第三节 微分及其在近似计算中的应用 第一节 导数的概念
第一节导数的概念 、两个实例 二、导数的概念 、可导与连续 四、求导举例
一、两个实例 二、导数的概念 三、可导与连续 第一节 导数的概念 四、求导举例
第一节导数的概念 两个实例 1.变速直线运动的瞬时速度 设一物体作变速直线运动,其路程函数为s=s(), 求该物体在时刻的瞬时速度.设在t时刻物体的位置 为s(t).当经过t+△时刻获得增量△t时,物体的位 置函数s相应地有增量△s=s(0+△)-s(t0)(如下图) s(to) s(to 于是比值 (0+△)-s(t) △t
第一节 导数的概念 1 .变速直线运动的瞬时速度 设一物体作变速直线运动，其路程函数为 s=s(t)， 求该物体在 0 t 时刻的瞬时速度.设在 0 t 时刻物体的位置 为 s( 0 t ).当经过 0 t + Δt时刻获得增量 Δt时，物体的位 置函数 s 相应地有增量 ( ) ( ), 0 0 s = s t + t − s t （如下图） 于是比值 ( ) ( ) , 0 0 t s t t s t t s + − = O s(t0 ) s(t0 +t) s 一、两个实例
就是物体在t到a+△这段时间内的平均速度,记作v, △ss(o+△)-s(to) △t很小时,v可作为物体在t时刻的瞬时速度 的近似值.且△越小,v就越接近物体在t时刻的瞬 时速度,即 v(to)=lim v=lim=lim s(t+△)-s() △t→>0 A→>0△t△r->0 △t 就是说,物体运动的瞬时速度是路程函数的增量 和时间的增量之比当时间增量趋于零时的极限
就是物体在 0 t 到 0 t +Δt这段时间内的平均速度,记作 v， ( ) ( ) . 0 0 t s t t s t t s v + − = 即 = 当 Δ t 很小时，v可作为物体在 0 t 时刻的瞬时速度 的近似值. 且 Δ t 越小，v就越接近物体在 0 t 时刻的瞬 时速度，即 ( ) ( ) ( ) lim lim lim . 0 0 0 0 0 0 t s t t s t t s v t v t t t + − = = = → → → 就是说，物体运动的瞬时速度是路程函数的增量 和时间的增量之比当时间增量趋于零时的极限
2.平面曲线的切线斜率 平面曲线的切线几何演示 在曲线L上点M附近,再取一y y=f() 点M,作割线MM,当点M沿曲 M 线L移动而趋向于M0时,割线 N M0M的极限位置M0就定义为曲 A B 线L在点M处的切线 设函数y=f(x)的图像为曲线L(如上图), M0(x0,f(x0)和M(x,f(x)为曲线L上的两点,它们到x 轴的垂足分别为A和B,作M0N垂直BM并交BM于N 则 N=△x=x-x0 NM=△y=f(x)-f(x0)
2 .平面曲线的切线斜率 设函数 y = f (x)的图像为曲线 L（如上图）， 0 0 0 M x f x ( , ( ))和 M x f x ( , ( ))为曲线 L 上的两点，它们到 x 轴的垂足分别为 A 和 B,作M N0 垂直BM 并交 BM 于 N， 则 0 Δ 0 M N = x = x − x , Δ ( ) ( ) 0 NM = y = f x − f x . A B T L N M o y x y = f(x) M0 在曲线 L 上点M0附近，再取一 点M ,作割线M M0 ，当点 M 沿曲 线 L 移动而趋向于 M0时，割线 M M0 的极限位置M T0 就定义为曲 线 L 在点 M0处的切线. 平面曲线的切线几何演示