不妨设上述直线为x轴,则在x处的截面面积 A(x)是x的已知连续函数,求该物体介于x=a和 x=b(a<b)之间的体积(如右下图) 为求体积微元,在微小区间[x,x+dx]上视A(x)不 变,即把x,x+dx]上的立体薄片近似看作A(x)为底, dx为高的柱片,于是得 A(x) dv= A(x)dx 再在x的变化区间{a,b上积分, 则得公式 A(x)dx a xx+d b 囻
为求体积微元，在微小区间 [x, x dx]上视 A(x)不 变，即把[x, x dx]上的立体薄片近似看作 A(x)为底， dx为高的柱片，于是得 dV A ( x )d x , 再在x的变化区间[a,b]上积分， 则得公式 ( ) d . b a V A x x 不妨设上述直线为 x轴，则在 x处的截面面积 A(x)是 x的已知连续函数，求该物体介于 x a和 x b(a b)之间的体积（如右下图）. O x y b a x A( x) x dx
例6设有底圆半径为R的圆柱,被一与圆柱面交成 a角且过底圆直径的平面所截,求截下的楔形体积(如右 下图) 解取坐标系如图,则底圆方程为 +y2=R 在x处垂直于x轴作立体的截-R 面,得一直角三角形,两条直角边分 别为y及 y a,即√R2-x2及 其面积为 R R-x tand R A(x)=(R2-x2)tana,从而得楔形体 积为V=m2(R2-x2)max=tmn T(R2-x2)dx tan a(R'x-) R tan a
例 6 设有底圆半径为 R的圆柱，被一与圆柱面交成 角且过底圆直径的平面所截，求截下的楔形体积（如右 下图）. O y x R R a 2 2 2 x y R a 解 取坐标系如图，则底圆方程为 2 2 2 x y R , 在 x处垂直于 x 轴作立体的截 面，得一直角三角形，两条直角边分 别为 y 及 y tan ，即 2 2 R x 及 tan 2 2 R x ， 其 面 积 为 ( )tan 2 1 ( ) 2 2 A x R x ，从而得楔形体 积为 R R R V R x x R x x 0 2 2 2 2 ( )tan d tan ( )d 2 1 tan 3 2 ) 3 tan ( 3 0 2 2 R x R x R