第五章不定积分 第一节不定积分的概念及性质 第二节不定积分的积分方法 冈凶
第一节 不定积分的概念及性质 第二节 不定积分的积分方法 第五章 不定积分
第一节不定积分的概念及性质 不定积分的概念 二、基本积分公式 三、不定积分的性质 冈凶
一、不定积分的概念 二、基本积分公式 三、不定积分的性质 第一节 不定积分的概念及性质
、不定积分的概念 1.原函数的概念 定义1设f(x)是定义在某区间的已知函数,若存 在函数F(x),使得 F(x)=f(x)EidF(x)=f(x)dx 则称F(x)为f(x)的一个原函数 例因为(nx)=-,故nx是的一个原函数 因为(x2)=2x,所以x2是2x的一个原函数,但 (x2+1)y=(x2+2)=(x2-√3)=…=2x,所以2x的原函 数不是惟一的 原函数说明: 第一,原函数的存在问题:如果f(x)在某区间连续, 那么它的原函数一定存在(将在下章加以说明) 冈凶
1．原函数的概念 例 因 为 1 (ln ) x x = ， 故ln x是 1 x 的一个原函数； 因为 2 ( ) 2 x x = ，所以 2 x 是2x的一个原函数，但 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 3) x x x + = + = − = = 2x，所以 2x的原函 数不是惟一的． 原函数说明： 第一，原函数的存在问题：如果 f x( )在某区间连续， 那么它的原函数一定存在(将在下章加以说明)． 定义 1 设 f x( )是定义在某区间的已知函数，若存 在函数F x( )，使得 F x f x ( ) ( ) = 或d ( ) ( )d F x f x x = , 则称F x( )为 f x( )的一个原函数． 一、不定积分的概念
第二,原函数的一般表达式:前面已指出,若f(x) 存在原函数,就不是惟一的,那么,这些原函数之间有 什么差异?能否写成统一的表达式呢?对此,有如下结 论 定理若F(x)是f(x)的一个原函数,则F(x)+C是 f(x)的全部原函数,其中C为任意常数 证由于F(x)=f(x),又[F(x)+C]=F(x)=f(x), 所以函数族F(x)+C中的每一个都是f(x)的原函数 另一方面,设G(x)是f(x)的任一个原函数 即G(x)=f(x),则可证F(x)与G(x)之间只相差一个常数 冈
第二，原函数的一般表达式：前面已指出，若 f x( ) 存在原函数，就不是惟一的，那么，这些原函数之间有 什么差异？能否写成统一的表达式呢？对此，有如下结 论 ： 定 理 若F x( )是 f x( )的一个原函数，则F x C ( ) + 是 f x( )的全部原函数，其中 C为任意常数． 证 由于F x f x ( ) ( ) = ，又[ ( ) ] ( ) ( ) F x C F x f x + = = ， 所以函数族F x C ( ) + 中的每一个都是 f x( )的原函数． 另一方面,设G x( )是 f x( )的任一个原函数， 即G x f x ( ) ( ) = ，则可证F x( )与G x( )之间只相差一个常数
事实上,因为 [F(x)-G(x)=F(x)-G(x)=f(x)-f(x)=0, 所以F(x)-G(x)=C,或者G(x)=F(x)+C,这就是说 f(x)的任一个原函数G(x)均可表示成F(x)+C的形式 这样就证明了f(x)的全体原函数刚好组成函数族 F(x)+C 冈凶
这样就证明了 f x( )的全体原函数刚好组成函数族 F x C ( ) + ． 所 以F x G x C ( ) ( ) − = ，或者G x F x C ( ) ( ) = + ，这就是说 f x( )的任一个原函数G x( )均可表示成F x C ( ) + 的形式． 事实上,因 为 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 0 F x G x F x G x f x f x − = − = − =