第四章一元函数微分学的应用 第一节柯西( Cauchy)中值定理与 洛必达(L" Hospita)法则 第二节拉格朗日( Lagrange)中值定理 及函数的单调性 第三节函数的极值与最值 第四节曲率 第五节函数图形的描绘 第六节一元函数微分学在经济上的应用 冈凶
第一节 柯西（Cauchy）中值定理与 洛必达（L’Hospital）法则 第二节 拉格朗日（Lagrange）中值定理 及函数的单调性 *第四节 曲 率 第三节 函数的极值与最值 第五节 函数图形的描绘 第四章 一元函数微分学的应用 第六节 一元函数微分学在经济上的应用
第一节柯西( Cauchy)中值定理与洛必 达( L Hospital)法则 柯西中值定理 二、洛必达法则 冈凶
一、 柯西中值定理 二、 洛必达法则 第一节 柯西（Cauchy）中值定理与洛必 达（L’Hospital）法则
柯西中值定理 定理1(柯西中值定理)如果函数f(x)与F(x)满 足下列条件: (1)闭区间[a,b上连续; (2)在开区间(a,b)内可导 (3)F(x)在(a,b)内的每一点均不为零,那么,在 (a,b)内至少有一点5, 使得fb)-af5 F(b-Fla) Fls 冈凶
定理 1 （柯西中值定理）如果函数 f (x)与 F(x)满 足下列条件： (1) 闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导； (3) F'(x)在(a,b)内的每一点均不为零，那么，在 (a,b)内至少有一点ξ， . f(b) f(a) f ( ) F(b) F(a) F ( ) − = − 使得 一、 柯西中值定理
二、洛必达法则 把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限 称为型或-型不定式(也称为型或型未定型 的极限,洛必达法则就是以导数为工具求不定式的极限 方法 定理2(洛必达法则)若 (1) lim f(x)=0, lim g(x)=0 x->x0 (2)f(x)与g(x)在x0的某邻域内(点x0可除外) 可导,且g'(x)≠0; 冈
二、洛必达法则 把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限 称 为 0 0型 或 型不定式(也称为 0 0型 或 型未定型) 的极限,洛必达法则就是以导数为工具求不定式的极限 方法． (1) lim ( ) 0 0 = → f x x x ，lim ( ) 0 0 = → g x x x ； (2) f (x)与g(x)在 0 x 的某邻域内（点 0 x 可除外） 可导，且g'(x) 0； 定 理 2 (洛必达法则) 若
(3)1mf"(x)=A(A为有限数,也可为∞或-∞),则 x->x0 g(x) f(x)=lim/()=A x少x0g(x)xg(x) 证由于我们要讨论的是函数在点x0的极限, 而极限与函数在点x0的值无关,所以我们可补充f(x) 与g(x)在x0的定义,而对问题的讨论不会发生任何影 响.令f(x0)=8(x0)=0,则f(x)与g(x)在点x就连 续了.在x0附近任取一点x,并应用柯西中值定理, 得 f(x) f(x)-f(xo) f(s (5在x与x0之间) g(x)g(x)-8(x0)g(5) 冈凶
(3) A g x f x x x = → ( ) ( ) lim 0 ( A 为有限数，也可为+ 或 − )，则 证 由于我们要讨论的是函数在点 0 x 的极限， 而极限与函数在点 0 x 的值无关，所以我们可补充f (x) 与g(x)在 0 x 的定义，而对问题的讨论不会发生任何影 响．令 f (x0 ) = g(x0 ) = 0， 则 f (x)与g(x) 在点 0 x 就 连 续了．在 0 x 附近任取一点 x，并应用柯西中值定理， 得 A g x f x g x f x x x x x = = → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 g f g x g x f x f x g x f x = − − = (ξ在 x 与 0 x 之间)