微元法中微元的两点说明: (1)f(x)dx作为△F的近似值表达式,应该足够准确,确切 的说,就是要求其差是关于△x的高阶无穷小.即 △F-f(x)dx=0(△x).这样我们就知道了,称作微元的量 f(x)dx,实际上是所求量的微分dF; (2)具体怎样求微元呢?这是问题的关键,这要分析问 题的实际意义及数量关系,一般按着在局部[x,x+dx]上, 以“常代变”、“匀代不匀”、“直代曲”的思路(局部线 性化),写出局部上所求量的近似值,即为微元 dF=f(x)dx 囻
微元法中微元的两点说明： (1) f (x)dx作为ΔF的近似值表达式，应该足够准确，确切 的 说 ， 就 是 要 求 其 差 是 关 于 Δx 的 高 阶 无 穷 小 . 即 ΔF f (x)dx o(Δx) . 这 样 我 们 就 知 道 了 ， 称 作 微 元 的 量 f (x)dx，实际上是所求量的微分 dF ; (2) 具体怎样求微元呢? 这是问题的关键，这要分析问 题的实际意义及数量关系，一般按着在局部 x, x dx 上， 以“常代变” 、 “匀代不匀” 、 “直代曲”的思路（局部线 性 化 ）， 写 出 局 部 上 所 求 量 的 近 似 值 ， 即 为 微 元 dF f (x)dx
二、用定积分求平面图形的面积 1.直角坐标系下的面积计算 用微元法不难将下列图形面积表示为定积分 (1)曲线y=f(x)f(x)≥0),x=a,x=b及Ox轴所围 图形,如下页左图,面积微元dA=f(x)dx,面积 A=f(x)d (2)由上、下两条曲线y=f(x),y=g(x)f(x)≥g(x)及 x=a,x=b所围成的图形,如下页右图,面积微元 dA=f(x)-g(x)dx,面积A=[f(x)-g(x)dx 囻
1. 直角坐标系下的面积计算 用微元法不难将下列图形面积表示为定积分. （2） 由上、下两条曲线y f (x), y g(x)( f (x) g(x))及 x a, x b所围成的图形，如下页右图，面积微元 dA [ f (x) g(x)]dx,，面积 b a A [ f (x) g(x)]dx. （1） 曲线 y f (x)( f (x) 0), x a, x b及 Ox轴所围 图形，如下页左图，面积微元dA f (x)dx，面积 b a A f (x)dx. 二、用定积分求平面图形的面积
y=f(x) X+ x+dx b y=g(x) (3)由左右两条曲线x=v(y)2x=0(y)及y=C,y=d所 围成图形(图见下页)面积微元(注意,这时就应取横条矩 形d,即取y为积分变量)dA=[(y)-(y)y,面积 A=o()-y(y)ldy 囻
（3）由左右两条曲线x ( y), x ( y)及y c, y d 所 围成图形（图见下页）面积微元（注意，这时就应取横条矩 形 dA，即取 y为积分变量）dA [( y) ( y)]dy，面积 d c A [( y) ( y)]dy. O y a x x dx b x y f (x) x O y x x dx a y f (x) y g(x) b
J+dI x=y() y xX+ax x 例1求两条抛物线y2=x,y=x2所围成的图形的面积 解(1)画出图形简图(如右上图)并求出曲线交 点以确定积分区间: 囻
例 1 求两条抛物线 2 2 y x, y x 所围成的图形的面积 . 解（1）画出图形简图（如右上图）并求出曲线交 点以确定积分区间： O y x x dx x 1 (1,1) O y x y c d x ( y) x ψ( y) y dy
解方程组 得交点(0,0)及 (2)选择积分变量,写出面积微元,本题取竖条或横条作 dA均可,习惯上取竖条,即取x为积分变量,x变化范围为[0, ],于是 dA=(x-x)dx (3)将A表示成定积分,并计算 囻
解方程组 , , 2 2 y x y x 得交点（0，0）及（1，1）. (2) 选择积分变量，写出面积微元，本题取竖条或横条作 dA均可，习惯上取竖条，即取 x为积分变量，x变化范围为[0， 1]，于是 d ( )d , 2 A x x x (3)将A表示成定积分，并计算 1 0 1 0 2 3 3 2 3. 1 3 1 3 2 A ( x x )dx x x