§6亲件分布 在这里以二维的随机向量为例。先看离散型随机向量的情况 设(X,Y)是二维离散型随机向量,其分布列为 P(X Uj)=pi j=1,2 则其边缘分布列为 PX=x)=∑ ∑ P=P.,了 设p;>0,考虑在{Y=y}发生的情况下{X=r}发生的概率。由条件 概率公式得 P(X=TilY= yi P(X=Mi,Y=yi) P(r=yi 称这个概率为在Y=9的条件下随机变量X的条件分布列。 例61一射手进行射击,单发命中目标的概率为p(0<p<1),射击进 行到击中目标两次为止。X,Y分别表示第一次和第二次击中目标时射击的 次数,求X,Y的联合分布及条件分布 解显然有 PLX )=p2q =1 1;n=2,3, 于是边缘分布列为 P(X=m)=2P(X=m, Y=n)=pqm-l, m=1, 2 PY=n)=∑P(X=m,Y=n)=(n-1)py2,n=2,3,…
Ch3 1 §6 ✂✁✂✄✂☎ ✆✂✝✂✞✂✟✂✠✂✡✂☛✂☞✂✌✎✍✑✏✓✒✂✔✖✕✘✗✓✙✓✚✓✛✂✜✓☞✓✌✎✍✢✏✂☛✓✣✓✤✖✕ ✥ (X, Y ) ✦ ✠✂✡✂✚✂✛✂✜✂☞✂✌✎✍✑✏✖✧✘★✓✩✂✪✓✫✓✒ P(X = xi , Y = yj) = pij , i, j = 1, 2, · · · , ✬✂★✂✭✂✮✂✩✂✪✂✫✂✒ P(X = xi) = X j pij = pi· , i = 1, 2, · · · , P(Y = yj ) = X i pij = p·j , j = 1, 2, · · · . ✥ p·j > 0 ✧✰✯✂✱✂✆ {Y = yj} ✲✂✳☛✂✣✂✤✂✴ {X = xi} ✲✂✳☛✂✵✂✶✖✕✸✷✢✹✓✺ ✵✂✶✂✻✂✼✂✽ P(X = xi |Y = yj) = P(X = xi , Y = yj) P(Y = yj ) = pij p·j , i = 1, 2, · · · , ✾✝✂✿✂✵✂✶✂✒✂✆ Y = yj ☛✂✹✂✺✂✴✂☞✂✌✂❀✂✏ X ☛✂✹✂✺✂✩✂✪✂✫❁✕ ❂ 6.1 ❃❅❄❅❆❅❇❅❈✂❄✂❉✧❋❊✲✂●■❍✎❏▲❑☛✂✵✓✶✂✒ p(0 < p < 1) ✧ ❄❅❉❅❇ ❈✓▼✓❉■❍■❏▲❑✓◆✓❖✒◗P❘✕ X, Y ✩✓❙✓❚✓❯✓❱❃✓❖✓❲❱✓✠❖◗❉❳❍■❏❨❑◗❩✓❄◗❉☛ ❖✂❬✧❪❭ X, Y ☛✂❫✂❴✂✩✂✪✂❵✂✹✂✺✂✩✂✪✖✕ ❛ ❜✂❝✂❞ P(X = m, Y = n) = p 2 q n−2 , m = 1, · · · , n − 1; n = 2, 3, · · · , ❡✦✭✂✮✂✩✂✪✂✫✂✒ P(X = m) = X∞ n=m+1 P(X = m, Y = n) = pqm−1 , m = 1, 2, · · · , P(Y = n) = Xn−1 m=1 P(X = m, Y = n) = (n − 1)p 2 q n−2 , n = 2, 3, · · · . 1
Ch3 相应的条件分布为 P(X=mY=n pgn (n-1)p2qn P(Y=nX=m) pq n-m-1 在看连续型的情况。设(X,Y)是连续型随机变量,这是对任意的x,y 都有 PLX 故不能用条件概率公式来直接计算 为此,改为计算下面的条件概率的极限: limP(X≤x|y-c<Y≤y+e) P(X≤x,y-E<Y≤y+e) P(ve<Y≤y+E) F(a,y+e)-F(a, y-E 2-0+ Fr(y +e)-Fr(y-e oF(x F p(u, y)da 称此极限为在Y=y下X的条件分布函数,记作P(X≤xY=y)或 Fxy(x|y)于是就有 将此式与密度函数公式比较,就自然系以∥手 PY P()为条件Y=y下X的条件 密度函数,记作pxy(xly),即 Pair(aly
Ch3 2 ❢✂❣✂☛✂✹✂✺✂✩✂✪✂✒ P(X = m|Y = n) = p 2 q n−2 (n − 1)p 2q n−2 = 1 n − 1 , P(Y = n|X = m) = p 2 q n−2 pqm−1 = pqn−m−1 . ✆✓✙✓❤✓✐✓✜✓☛✓✣✓✤❥✕❨✥ (X, Y ) ✦❤✓✐✓✜✓☞✓✌✓❀✓✏❥✧❦✝✦◗❧✓♠◗♥☛ x, y ♦❞ P(X = x) = P(Y = y) = 0, ♣✂q✂r✂s✹✂✺✂✵✂✶✂✻✂✼✓t✓✉✂✈✓✇✂①✖✕ ✒✂②❁✧❪③✂✒✂✇✂①✂✴✂④✓☛✂✹✓✺✓✵✂✶✓☛✂⑤✓⑥❘⑦ lim ε→0+ P(X 6 x|y − ε < Y 6 y + ε) = lim ε→0+ P(X 6 x, y − ε < Y 6 y + ε) P(yε < Y 6 y + ε) = lim ε→0+ F(x, y + ε) − F(x, y − ε) FY (y + ε) − FY (y − ε) = ∂F(x, y) ∂y d dy FY (y) = Z x −∞ p(u, y)du pY (y) . ✾②◗⑤◗⑥◗✒◗✆ Y = y ✴ X ☛◗✹◗✺◗✩◗✪◗⑧❬ ✧⑩⑨❷❶ P(X 6 x|Y = y) ❸ FX|Y (x|y) ✕ ❡✦✂❹❞ FX|Y (x|y) = Z x −∞ p(u, y) pY (y) du. ❺②✂✼✂❻✂❼✂❽◗⑧❬ ✻✓✼❳❾✢❿❘✧ ❹➁➀ ❝✾ p(x, y) pY (y) ✒✂✹✂✺ Y = y ✴ X ☛✂✹✂✺ ❼✂❽✂⑧❬ ✧❪⑨✂❶ pX|Y (x|y) ✧❪➂ pX|Y (x|y) = p(x, y) pY (y) . 2
Ch3 例6.1考虑云雾室中粒子的衰变。设任一特定粒子到达衰变所需要的 时间是一随机变量,服从参数为y的指数分布(对不同类型的粒子,其参数 y是不同的)。再设对于云雾室中随机选取的粒子,其参数y是另一随机变 量Y的一个值,而Y服从r(a,B),其中参数a,B是由观察粒子的实验条件 所决定的正的常数。求从云室中随机选取的粒子到达衰变所需时间X的概 率密度函数 解由题目条件可知X的条件概率密度为 ≤ (X,Y)的联合密度为p(x,y)=px(xly)p(y),于是X的概率密度为 PX (a, y)dy Pxjy(aly)py(y)dy (a) dy y r(a)(6+x)+1 +ra 即X的密度函数为 Px(a 7a+,x>0 例62设(X,Y)~N(1,p2,02,02,p),求mx(ylr) 解已经知道X~N(p1,2),代入条件概率公式计算整理可知P1x(y) 是正态分布N(2+p-(x-1),、(1-p2)2)的密度函数。也就是说,二元正 态分布的条件密度还是正态分布
Ch3 3 ❂ 6.1 ✯✂✱✂➃✂➄✂➅ ❍✢➆✓➇☛✓➈✓❀❘✕➉✥♠✓❃✓➊✓➋◗➆✓➇✓▼✓➌➈◗❀✓➍✓➎✓➏✓☛ ❩✎➐✑✦✂❃☞✂✌✂❀✂✏❁✧➒➑✓➓✂➔❬ ✒ y ☛✂→❬ ✩✂✪↔➣ ❧ q✎↕✑➙✜✂☛➆✓➇✧✘★✓➔❬ y ✦ q✎↕☛❳➛➜✕➞➝✓✥❧ ❡➃◗➄✓➅ ❍☞◗✌✓➟✓➠◗☛➆◗➇✧➞★✓➔❬ y ✦✂➡✂❃☞✂✌✓❀ ✏ Y ☛❃ ✿❅➢❁✧➥➤ Y ➑❅➓ Γ(α, β) ✧➥★❍➔❬ α, β ✦ ✷⑩➦❅➧➆❅➇☛✂➨✂➩✂✹✂✺ ➍✂➫➋ ☛✂➭✂☛✓➯❬ ✕➲❭✓➓✓➃✓➅ ❍☞✓✌✓➟✓➠✓☛➆◗➇✓▼✓➌➈✓❀✓➍◗➎❩■➐ X ☛✂✵ ✶✂❼✂❽✂⑧❬ ✕ ❛ ✷✑➳ ❏ ✹✂✺✂➵✂➸ X ☛✂✹✂✺✂✵✂✶✂❼✂❽✂✒ pX|Y (x|y) = ( ye −yx , x > 0, x 6 . (X, Y ) ☛✂❫✂❴✂❼✂❽✂✒ p(x, y) = pX|Y (x|y)pY (y) ✧ ❡✦ X ☛✂✵✂✶✂❼✂❽✂✒ pX (x) = Z ∞ −∞ p(x, y)dy = Z ∞ −∞ pX|Y (x|y)pY (y)dy = Z ∞ −∞ ye −yx β α Γ(α) y α−1 e −βy dy = β α Γ(α) Z ∞ −∞ y α e (β+x)u dy = β α Γ(α) Γ(α + 1) (β + x) α+1 = αβ α (β + x) α+1 . ➂ X ☛✂❼✂❽✂⑧❬ ✒ pX(x) = αβ α (β + x) α+1 , x > 0 0, x 6 0. ❂ 6.2 ✥ (X, Y ) ∼ N(µ1, µ2, σ 2 1 , σ 2 2 , ρ) ✧❪❭ pY |X(y|x) ✕ ❛➻➺➽➼➾➸➾➚ X ∼ N(µ1, σ 2 1 ) ✧➶➪➾➹➾✹➾✺➾✵➾✶➾✻❅✼❅✇➾①❅➘❅➴❅➵➾➸ PY |X(y|x) ✦ ➭❅➷❅✩❅✪ N(µ2 + ρ σ2 σ1 (x − µ1),(1 − ρ 2 )σ 2 2 ) ☛❅❼❅❽❅⑧❬ ✕➮➬❹✂✦✂➱✧➮✠✂✃✂➭ ➷✂✩✂✪✂☛✂✹✂✺✂❼✂❽✂❐✦ ➭✓➷✂✩✓✪✖✕ 3
Ch4 第四章随机变量的数字特征 §1随机变量的数学期望 对于一个随机变量,我们希望找到一个数值来体现它的取值的平均大 小。在考虑平均的时候,不仅仅要看它的取值,还要考虑到它取那些值的相 应的概率。为此,我们定义了数学期望 先看离散型随机变量。 定义设离散型随机变量X的概率分布列为 P(X=Ik)=Pk, k=1, 2 则称和数 LkPk P(X=Tk) 为随机变量X的数学期望,记作E(X) 在这里,还要要求上面的级数绝对收敛,这样才能保证该和数不会受求 和次序的影响。下面给出几个常用的离散型分布的期望。 (1)两点分布 设X服从参数为P的两点分布,容易计算 E(X)=0·q+1·p=p. (2)二项分布 设X~B(n,p),即 P(X=k)=Cmpq-k,k=0,1,……,n E(X)=∑kCh^qn k=0
Ch4 4 ❒✎❮✑❰ Ï✂Ð✂Ñ✂Ò✂Ó✂Ô✂Õ✂Ö✂× §1 Ï✂Ð✂Ñ✂Ò✂Ó✂Ô✂Ø✂Ù✂Ú ❧ ❡❃ ✿◗☞◗✌◗❀◗✏❘✧✢Û❷Ü❷Ý◗Þ❷ß▼❷❃✿❬ ➢◗t❷à❷á❷â◗☛❷➠❷➢◗☛❷ã❷ä❷å æ✕➒✆✂✯✂✱✂ã✂ä✂☛❩✓ç✧ q✓è✓è➏✓✙✓â✓☛✓➠✂➢❘✧é❐✓➏✓✯✂✱▼â✓➠✓ê✓ë✓➢✓☛✂❢ ❣✂☛✂✵✂✶❁✕❪✒✂②✖✧✘Û✓Ü➋✓ì✓í✂❬✓î✂ïÞ✖✕ ✗✂✙✂✚✂✛✂✜✂☞✂✌✂❀✂✏❁✕ ð✂ñ ✥✂✚✂✛✂✜✂☞✂✌✂❀✂✏ X ☛✂✵✂✶✂✩✂✪✂✫✂✒ P(X = xk) = pk, k = 1, 2, · · · , ✬✾ ❲✂❬ X k xkpk = X k xkP(X = xk) ✒✂☞✂✌✂❀✂✏ X ☛❬✂î✂ïÞ❁✧❪⑨✂❶ E(X) ✕ ✆✂✝✂✞❁✧❋❐✂➏✂➏✂❭✂ò✂④✂☛✂ó❬✂ô✓❧✂õ✓ö✧❪✝✂÷✓ør✓ù✂ú✓û❲✓❬q✓ü✂ý❭ ❲✂❖✂þ☛✂ÿ✁❁✕❪✴✓④✄✂✆☎✞✝✂✿✓➯s☛✓✚✂✛✓✜✓✩✂✪✓☛ïÞ✖✕ (1) ◆✁✟✩✂✪ ✥ X ➑✂➓✂➔❬ ✒ p ☛◆✁✟✩✂✪❁✧✡✠✁☛✂✇✓① E(X) = 0 · q + 1 · p = p. (2) ✠✁☞✂✩✂✪ ✥ X ∼ B(n, p) ✧❪➂ P(X = k) = C k n p k q n−k , k = 0, 1, · · · , n ✬ E(X) = Xn k=0 kC k np k q n−k = Xn k=1 nCn−1k − 1p k q n−k = npXn−1 k=0 C k n−1 p k q n−1−k = np. 4
Ch4 在定义二项分布的时候,提到过它实际上就是n个两点分布的和的分布,这 里又说明了二项分布的数学期望也等于n个两点分布的数学期望的和 (3) Poisson分布 设X服从参数为入的 Poisson分布,则 E(X)=ke k (4)几何分布 设X服从参数为P的几何分布,则 P k=1 接下来是连续型随机变量的期望。 定义设X具有密度p(x),如果/|lp(x)dx<∞,则称 rp rdr 为X的期望,记作E(X)。 接下来是几个常用的连续型随机变量的期望。 (1)均匀分布 设X服从(a,b)上的均匀分布,则 E(X)= bo-2dz a+b 也就是说,均匀分布的期望刚好是区间的中点 (2)指数分布 设X服从参数为入的指数分布,则 E(X) (3)正态分布
Ch4 5 ✆ ➋❅ì✠✌☞❅✩✓✪✂☛❩✂ç✧✎✍▼✄✏â✂➨✁✑✂ò❹✂✦ n ✿ ◆✌✟✩❅✪❅☛❲☛✂✩✓✪✖✧ ✝ ✞✁✒➱✆✓✑í✠✁☞✂✩✂✪✂☛❬✓î✂ïÞ✂➬✄✔❡ n ✿ ◆✁✟✩✂✪✂☛❬✂î✂ïÞ✂☛❲ ✕ (3) Poisson ✩✂✪ ✥ X ➑✂➓✂➔❬ ✒ λ ☛ Poisson ✩✂✪❁✧❪✬ E(X) = X∞ i=0 k · e −k λ k k! = X∞ k=1 λe −k λ k−1 (k − 1)! = λ (4) ✝✁✕✂✩✂✪ ✥ X ➑✂➓✂➔❬ ✒ p ☛✁✝✁✕✂✩✂✪❁✧❪✬ E(X) = X∞ k=1 k · pqk−1 = p · 1 (1 − q) 2 = 1 p . ✈✂✴✂t✦❤✂✐✂✜✂☞✂✌✂❀✂✏✓☛ïÞ✖✕ ð✂ñ ✥ X ✖ ❞✂❼✂❽ p(x) ✧✡✗✁✘ Z ∞ −∞ |x| p(x)dx < ∞ ✧❪✬✾ Z ∞ −∞ xp(x)dx ✒ X ☛ïÞ❁✧❪⑨✂❶ E(X) ✕ ✈✂✴✂t✦ ✝✂✿✂➯s☛✂❤✂✐✓✜✂☞✓✌✓❀✂✏✓☛ïÞ✖✕ (1) ä✁✙✂✩✂✪ ✥ X ➑✂➓ (a, b) ò✂☛✂ä✁✙✂✩✂✪❁✧❪✬ E(X) = Z b a 1 b − a xdx = a + b 2 . ➬ ❹✂✦✂➱✧❪ä✁✙✂✩✓✪✓☛ïÞ✁✚✄✛✦✆✜✓➐☛ ❍✞✟ ✕ (2) →❬ ✩✂✪ ✥ X ➑✂➓✂➔❬ ✒ λ ☛✂→❬ ✩✂✪❁✧❪✬ E(X) = Z ∞ 0 x · λe −λxdx = 1 λ . (3) ➭✂➷✂✩✂✪ 5