第四章多项式 41一元多项式的定义和运算 1.设f(x),g(x)和M(x)是实数域上的多项式,证明:若是 (6)f(x)2=xg(x)2+xh(x)2, 那么f(x)=8(x)=h(x)=0 2.求一组满足(6)式的不全为零的复系数多项式f(x),g(x)和h(x) 3.证明: (-1)x(x-1).(x-n+1) ni =(-)(x-1).(x-m) §4.2多项式的整除性 求∫(x)被g(x)除所得的商式和余式 (i)f(x)=x-4x3-1g(x)=x2-3x-1 (i)f(x)=x5-x3+3x2-1,g(x)=x3-3x+2 2.证明:x|f(x)必要且只要xf(x) 3.令f(x),f2(x)g1(x)g2(x)都是数域F上的多项式,其中f1(x)≠0且 g;(x)g2x)f(x)/2(x)f(x)ig(x)证明:g2(x)f(x) 4.实数m,p,q满足什么条件时多项式x2+mx+1能够整除多项式x4+px+q 5.设F是一个数域,a∈F.证明:x-a整除x"-a 6.考虑有理数域上多项式 f(x)=(x+)y+"+(2x)x+1)+-+…+(2x)(x+) 这里k和n都是非负整数.证明: x4+(x-1)f(x)+(x+)y
第四章 多项式 §4.1 一元多项式的定义和运算 1．设 f (x), g(x) 和 h(x) 是实数域上的多项式．证明：若是 (6) 2 2 2 f (x) = xg(x) + xh(x) ， 那么 f (x) = g(x) = h(x) = 0. 2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式 f (x), g(x) 和 h(x). 3．证明： ! ( 1)...( ) ( 1) ! ( 1)...( 1) ( 1) 2! ( 1) 1 n x x n n x x x x x n x n n − − = − − − + − + − − − + §4.2 多项式的整除性 1．求 f (x) 被 g(x) 除所得的商式和余式： ( i ) ( ) 4 1, ( ) 3 1; 4 3 2 f x = x − x − g x = x − x − (ii) ( ) 3 1, ( ) 3 2; 5 3 2 3 f x = x − x + x − g x = x − x + 2．证明： k x | f (x) 必要且只要 x | f (x). 3 ． 令 f x f (x) g (x) g (x) 1 2 1 2 ( ), , , 都是数域 F 上 的 多 项 式 ， 其 中 f 1 (x) 0 且 ( ) ( )| ( ) ( ), ( )| ( ). 1 2 1 2 1 1 g x g x f x f x f x g x 证明： ( )| ( ). 2 2 g x f x 4．实数 m, p, q 满足什么条件时多项式 1 2 x + mx + 能够整除多项式 . 4 x + px + q 5．设 F 是一个数域， aF. 证明： x −a 整除 . n n x − a 6．考虑有理数域上多项式 ( ) ( 1) (2 )( 1) (2 ) ( 1) , k n k n 1 k n f x = x + + x x + + + x x + + + − 这里 k 和 n 都是非负整数．证明： | ( 1) ( ) ( 1) . +1 k+n+1 x x − f x + x + k
7.证明:x4-1整除x"-1必要且只要d整除n §4.3多项式的最大公因式 1.计算以下各组多项式的最大公因式: (i)f(x)=x4+3x3-x2-4x-3g(x)=3x3+10x2+2x-3 (i)f(x)=x2+(2-2)x3+(2-4i)x2+(-1-2l)x-1-i,g(x)=x2+(1-2i)x+1-i 2.设f(x)=d(x)f(x)g(x)=d(x(x)证明:若((x)g(x)=d(x)且f(x) 和g(x)不全为零,则(f(x)g1(x)=1反之,若(f(x)g1(x)=1则d(x)是f(x)与 g(x)的一个最大公因式 3.令f(x)与g(x)是Fx的多项式,而a,bc,d是F中的数,并且 bc≠0 证明: (a/(x)+bg(x)(x)+g(x)=(f(x)g(x) 4.证明: (i)(f,g)h是f和gh的最大公因式 (i)(1,g1)2,g2)=(f1f2,fg2g1f2,g182 此处f,g,h等都是F[x]的多项式。 5.设f(x)=x2+2x3-x2-4x-2,g{(x)=x+x32-x2-2x-2都是有理数域 Q上的多项式。求(x)(x)∈Qx使得 f((x)+g(x](x)=((x)g(x) 6.设(f,g)=1.令n是任意正整数,证明:(∫,g")=1.由此进一步证明,对 于任意正整数m,n,都有(m,g")= 设(∫,g)=1.证明 (f,∫+g)=(g,f+g)=(g,f+g)=1
7．证明： −1 d x 整除 −1 n x 必要且只要 d 整除 n. §4.3 多项式的最大公因式 1. 计算以下各组多项式的最大公因式： ( i ) ( ) 3 4 3, ( ) 3 10 2 3; 4 3 2 3 2 f x = x + x − x − x − g x = x + x + x − (ii) ( ) (2 2 ) (2 4 ) ( 1 2 ) 1 , ( ) (1 2 ) 1 . 4 3 2 2 f x = x + − i x + − i x + − − i x − − i g x = x + − i x + − i 2. 设 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ). 1 1 f x = d x f x g x = d x g x 证明：若 ( f (x), g(x)) = d(x), 且 f (x) 和 g(x) 不全为零，则 ( ( ), ( )) 1; f 1 x g1 x = 反之，若 ( ( ), ( )) 1, f 1 x g1 x = 则 d(x) 是 f (x) 与 g(x) 的一个最大公因式． 3. 令 f (x) 与 g(x) 是 F[x] 的多项式，而 a,b,c, d 是 F 中的数，并且 ad −bc 0 证明： (af (x)+bg(x),cf (x)+ dg(x)) = ( f (x), g(x)). 4． 证明： （i） ( f , g)h 是 fh 和 gh 的最大公因式； （ii） ( , )( , ) ( , , , ), 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 g1g2 f g f g = f f f g g f 此处 f , g,h 等都是 F[x] 的多项式。 5． 设 ( ) 2 4 2, ( ) 2 2 4 3 2 4 3 2 f x = x + x − x − x − g x = x + x − x − x − 都是有理数域 Q 上的多项式。求 u(x),v(x)Q[x] 使得 f (x)u(x)+ g(x)v(x) = ( f (x), g(x)). 6． 设 ( f , g) = 1. 令 n 是任意正整数，证明： ( , ) =1. n f g 由此进一步证明，对 于任意正整数 m, n ，都有 ( , ) =1. m n f g 7． 设 ( f , g) = 1. 证明： ( f , f + g) = (g, f + g) = ( fg, f + g) = 1
8.证明:对于任意正整数n都有(,g)=(",g") 9.证明:若是f(x)与g(x)互素,并且f(x)与g(x)的次数都大于0,那么 定理233里的u(x)与(x)可以如此选取,使得(x)的次数低于g(x)的次数,yx) 的次数低于f(x)的次数,并且这样的u(x)与vx)是唯一的 10.决定k,使x2+(k+6)x+4k+2与x2+(k+2)x+2k的最大公因式是 次的 1.证明:如果((x)g(x)=1,那么对于任意正整数m, ((x)g{x")=1 12.设f(x)g{(x)是数域F上的多项式。f(x)与g(x)的最小公倍式指的是 x中满足以下条件的一个多项式m(x) (a)()m(x)Eg(x)m(x) (b)如果Mx)∈F]且f(x)h(x)g(x)(x),那么m(x)x) )证明:Fx]中任意两个多项式都有最小公倍式,并且除了可能的零次因式的 差别外,是唯一的。 (n)设f(x)g(x)都是最高次项系数是1的多项式,令[(x)(x表示f(x)和 g(x)的最高次项系数是1的那个最小公倍式。证明 f(x)(x)=(f(x)g(x)/(x)g(x) 13.设g(x)(x)(x)并且(g(x)f(x)=1.1=12,…,n-1证明:g(x)(x) 14.设f(x)f2(x)…f(x)∈Fx证明 )G1(x)f(x)…yf(x)=((x)(x)…f4(x)(n(x)…fn(x)1≤k≤n-1 n)f(x)f(x)…fn(x)互素的充要条件是存在多项式a(x)a2(x)…un(x)∈Fx 使得 f(xu, (x)+f2(xu,(x)+f,(xu, (x)=I
8． 证明：对于任意正整数 n 都有 ( , ) ( , ). n n n f g = f g 9． 证明：若是 f (x) 与 g(x) 互素，并且 f (x) 与 g(x) 的次数都大于 0，那么 定理 2.3.3 里的 u(x) 与 v(x) 可以如此选取，使得 u(x) 的次数低于 g(x) 的次数， v(x) 的次数低于 f (x) 的次数，并且这样的 u(x) 与 v(x) 是唯一的。 10． 决定 k ，使 ( 6) 4 2 2 x + k + x + k + 与 x (k 2)x 2k 2 + + + 的最大公因式是一 次的。 11． 证明：如果 ( f (x), g(x)) =1, 那么对于任意正整数 m， ( ( ), ( )) =1 m m f x g x 12． 设 f (x), g(x) 是数域 F 上的多项式。 f (x) 与 g(x) 的最小公倍式指的是 F[x]中满足以下条件的一个多项式 m(x)： (a) f (x)m(x) 且 g(x)m(x) ； (b) 如果 h(x) ∈F[x]且 f (x)h(x), g(x)h(x) ，那么 m(x)h(x). (i) 证明：F[x]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的 差别外，是唯一的。 (ii) 设 f (x), g(x) 都是最高次项系数是 1 的多项式，令 f (x), g(x) 表示 f (x) 和 g(x) 的最高次项系数是 1 的那个最小公倍式。证明 f (x)g(x) = (f (x), g(x))f (x), g(x) 13．设 ( ) ( ) ( ), 1 g x f x f x n 并且 (g(x), f (x)) =1,i =1,2, ,n −1. i 证明： g(x) f (x). n 14． 设 ( ), ( ), ( ) [ ]. 1 2 f x f x f x F x n 证明： (i) ( ( ), ( ), ( )) (( ( ), ( ), ( )),( ( ), , ( ))),1 1. f 1 x f 2 x f n x = f 1 x f 2 x f k x f k+1 x f n x k n − (ii) f (x) f (x) f (x) n , , 1 2 互素的充要条件是存在多项式 ( ), ( ), ( ) [ ] 1 2 u x u x u x F x n 使得 f 1 (x)u1 (x)+ f 2 (x)u2 (x)+ f n (x)un (x) =1
5.设f(x)…fn(x)∈Fx令 ={(xk(x)+…f()kn(x)g(x)ex]si≤n} 比照定理142,证明:f(x)…,fn(x)有最大公因式.[提示:如果f(x)…fn(x)不 全为零,取d(x)是I中次数最低的一个多项式,则d(x)就是f(x)…f(x)的一个 最大公因式.] §4.4多项式的分解 1.在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积: G)3x2+1,(i)x3-2x2-2x+1 2.分别在复数域,实数域,有理数域上分解多项式x4+1为不可约因式的乘 积 3.证明:g(x)/(x),当且仅当s(x( 4.()求f(x)=x5-x2-2x3+2x2+x-1在Q内的典型分解式 n)求f(x)=2x3-10x2+16x3-16x2+14x-6在Rx]内的典型分解式 5证明:数域F上一个次数大于零的多项式f(x)是Fx中某一不可约多项式的 幂的充分且必要条件是对于任意g(x)∈F[x],或者(f(x),g(x)=1或者存在一个正 整数m使得/()g(xy 6.设p(x)是F[x中一个次数大于零的多项式如果对于任意 f(x)(x)Fx只要p(x)(x)(x)就有p(x/(x)或p(x)g(x)那么p(x)不可约 §4.5重因式 1.证明下列关于多项式的导数的公式 f(x)+g(x)=f'(x)+g(x) (i)(x)g(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'x)
15． 设 ( ), , ( ) [ ]. 1 f x f x F x n 令 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ],1 . I = f 1 x g1 x + f n x gn x gi x F x i n 比照定理 1.4.2，证明： f (x) f (x) n , , 1 有最大公因式．[提示：如果 f (x) f (x) n , 1 不 全为零，取 d(x) 是 I 中次数最低的一个多项式，则 d(x) 就是 f (x) f (x) n , , 1 的一个 最大公因式．] §4.4 多项式的分解 1. 在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积： (i) 3 1; 2 x + ( ) 2 2 1. 3 2 ii x − x − x + 2. 分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式 1 4 x + 为不可约因式的乘 积. 3. 证明： ( ) ( ) , 2 2 g x f x 当且仅当 g(x) f (x). 4. (i) 求 ( ) 2 2 1 5 4 3 2 f x = x − x − x + x + x − 在 Q[x] 内的典型分解式； (ii) 求 ( ) 2 10 16 16 14 6 5 4 3 2 f x = x − x + x − x + x − 在 R[x] 内的典型分解式 5.证明：数域 F 上一个次数大于零的多项式 f (x) 是 F[x] 中某一不可约多项式的 幂的充分且必要条件是对于任意 g(x) F[x], 或者 (f (x), g(x)) =1 或者存在一个正 整数 m 使得 ( ) ( ) . m f x g x 6 ． 设 p(x) 是 F[x] 中 一 个 次 数 大 于 零 的 多 项 式 . 如 果 对 于 任 意 f (x), g(x) F[x], 只要 p(x) f (x)g(x) 就有 p(x) f (x) 或 p(x) g(x), 那么 p(x) 不可约. §4.5 重因式 1. 证明下列关于多项式的导数的公式： (i) ( f (x) g(x)) = f (x)+ g (x); + (ii) ( f (x)g(x)) = f (x)g(x)+ f (x)g (x).
2.设p(x)是f(x)的导数f(x)的k-1重因式证明: )p(x)未必是f(x)的k重因式 n)p(x)是f(x)的k重因式的充分且必要条件是p(x)f(x) 3.证明有理系数多项式 f(x)=1+x+x+…x 没有重因式 4.a,b应该满足什么条件,下列的有理系数多项式才能有重因式? x'+3ax+b x"+4ax+b 5.证明:数域F上的一个n次多项式f(x)能被它的导数整除的充分且必要 条件是 f()=ax-b) 这里的a,b是F中的数 §46多项式函数多项式的根 设f(x)=2x3-3x4-5x3+1,求f(3,f(-2) 2数环R的一个数c说是f(x)∈Rx]的一个k重根如果f(x)可以被(x-c) 整除但不能被(x-c)整除判断5是不是多项式 f(x)=3x3-224x3+742x2+5x+50 的根如果是的话,是几重根? 3.设2x (x-2)+b(x-2)2+c(x-2)+d 求ab,c,d.提示应用综合除法,] 将下列多项式f(x)表成x-a的多项式
2. 设 p(x) 是 f (x) 的导数 f (x) 的 k −1 重因式.证明： (i) p(x) 未必是 f (x) 的 k 重因式； (ii) p(x) 是 f (x) 的 k 重因式的充分且必要条件是 p(x) f (x). 3. 证明有理系数多项式 ( ) 2! ! 1 2 n x x f x x n = + + + 没有重因式. 4. a,b 应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？ (i) 3 ; 3 x + ax + b (ii) 4 . 4 x + ax + b 5. 证明：数域 F 上的一个 n 次多项式 f (x) 能被它的导数整除的充分且必要 条件是 ( ) ( ) n f x = a x − b ， 这里的 a,b 是 F 中的数 §4.6 多项式函数 多项式的根 1．设 ( ) 2 3 5 1 5 4 3 f x = x − x − x + ,求 f (3), f (−2) . 2．数环 R 的一个数 c 说是 f (x) R[x] 的一个 k 重根,如果 f (x) 可以被 k (x − c) 整除,但不能被 1 ( ) + − k x c 整除.判断 5 是不是多项式 ( ) 3 224 742 5 50 5 3 2 f x = x − x + x + x + 的根.如果是的话,是几重根? 3．设 2x − x + 3x − 5 = a(x − 2) + b(x − 2) + c(x − 2) + d 3 2 3 2 求 a,b,c,d. [提示:应用综合除法．] 4．将下列多项式 f (x) 表成 x −a 的多项式