第七章欧氏空间 §7.1向量的内积 1.证明在一个欧氏空间里对于任意向量ξ,n,以下等式成立: (1)+n1+|5-n2=2|5P2+2|n2; (2)(5,n)=|5+m12-|5-7|2 在解析几何里等式(1)的几何意义是什么? 2.在区氏空间R里,求向量a=(1,1…1)与每一向量 的夹角 3.在欧氏空间R4里找出两个单位向量,使它们同时与向量 a=(2,1,-4,0) B=(-1,-1,2,2) y=(3,2,54) 中每一个正交 4.利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径那么这 个三角形一定是直角三角形 5.设5,是一个欧氏空间里彼此正交的向量证明 5+n|2=5P2+|nP2(勾股定理) 6.设a1a2…an,B都是一个欧氏空间的向量且B是a1a2,…an的线性组 合证明如果B与a1正交,=12,…,n,那么B=0 7.设a1a2…an是欧氏空间的n个向量行列式
第七章 欧氏空间 §7.1 向量的内积 1．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量 , ,以下等式成立: (1) 2 2 2 2 | + | + | − | = 2 | | +2 | | ； (2) | | . 4 1 | | 4 1 , 2 2 = + − − 在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么? 2．在区氏空间 n R 里,求向量 = (1,1, ,1) 与每一向量 (0, ,0, 1,0, ,0) ( ) i i = ,i = 1,2, , n 的夹角. 3．在欧氏空间 4 R 里找出两个单位向量,使它们同时与向量 (3,2,5,4) ( 1, 1,2,2) (2,1, 4,0) = = − − = − 中每一个正交. 4．利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这 个三角形一定是直角三角形． 5．设 , 是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明: 2 2 2 | + | =| | + | | (勾股定理) 6．设 1 , 2 , , n , 都是一个欧氏空间的向量,且 是 n , , , 1 2 的线性组 合.证明,如果 与 i 正交,i = 1,2, , n ,那么 = 0 . 7．设 n , , , 1 2 是欧氏空间的 n 个向量.行列式
<a1,1><a1,a2> G(a,a,…“an)=a2,a1><a2:2 <an,a,> <an,a2> 叫做a1,a2…,an的格拉姆(Gram)行列式证明G(a1,a2…an)=0.,必要且只要 a1,a2…an线性相关 8.设α,β是欧氏空间两个线性无关的向量满足以下条件 2<a,B>和2<a,B> 都是≤0的整数 <a,a><B,B> 证明:a,B的夹角只可能是x,,近或 9证明对于任意实数a1,a2,…,an, ∑|a,|≤√ma2+a2 §72正交基 a1=(0,210),a2=(1-10.0) a3=(1,2,0.-1),a4=(100,1) 是R的一个基对这个基施行正交化方法求出R的一个规范正交基 2.在欧氏空间C[-1里,对于线性无关的向量级{1,x,x2,x3}施行正交化方 法求出一个规范正交组. 3.令{a1a2…;an}是欧氏空间Ⅴ的一组线性无关的向量,月,B2,…,Bn}是 由这组向量通过正交化方法所得的正交组证明,这两个向量组的格拉姆行列式相 等,即 G(a1,a2,…,an)=G(B1,B2,…,Bn)=B1,B×B2,B2>…<Bn,Bn> 4.令%1,y2,…yn是n维欧氏空间V的一个规范正交基,又令
= n n n n n n G n , , , , , , , , , ( , , , ) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 叫做 n , , , 1 2 的格拉姆(Gram)行列式.证明 ( , , , ) G 1 2 n =0,必要且只要 n , , , 1 2 线性相关. 8．设 , 是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件: , 2 , 和 , 2 , 都是 0 的整数. 证明: , 的夹角只可能是 6 5 4 3 , 3 2 , 2 或 . 9.证明:对于任意实数 a a an , , , 1 2 , 3 2 3 2 2 2 1 1 | | ( n n i ai n a + a + a + + a = ). §7.2 正交基 1．已知 (0,2,1,0) 1 = , (1, 1,0,0) 2 = − (1,2,0, 1) 3 = − , (1,0,0,1) 4 = 是 4 R 的一个基.对这个基施行正交化方法,求出 4 R 的一个规范正交基． 2．在欧氏空间 C[−1,1] 里,对于线性无关的向量级{1, x , 2 x , 3 x }施行正交化方 法,求出一个规范正交组． 3．令 { , , , } 1 2 n 是欧氏空间 V 的一组线性无关的向量,{ , , , } 1 2 n 是 由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相 等,即 G(1 , 2 , , n ) = G(1 , 2 , , n ) = 1 ,1 2 , 2 n , n 4．令 n , , , 1 2 是 n 维欧氏空间 V 的一个规范正交基,又令
K={5∈|5=∑x,0≤xs1=12…n} K叫做一个n-方体如果每一x都等于0或1,5就叫做K的一个项点K的顶点间 一切可能的距离是多少? 5.设{a1,a2,…,an}是欧氏空间V的一个规范正交组证明对于任意5∈V, 以下等式成立 ∑(5a)245 6.设V是一个n维欧氏空间证明 ()如果W是V的一个子空间,那么(W)2=W (n)如果W1W2都是V的子空间,且WcW2,那么W2cW (i)如果W,W2都是V的子空间,那么(W1+W2)=W1+W2 7.证明,R中向量(x0,y0,=0)到平面 W=(x,y,seRax+by +cz=0f 的最短距离等于 l axo +byo +co l 8.证明,实系数线性方程组 ∑anx,=b,=12…n 有解的充分且必要条件是向量β=(b,b2,…,bn)∈R"与齐次线性方程组 ∑anx,=01=1.2,…n 的解空间正交 9.令a是n维欧氏空间V的一个非零向量.令 P={∈k5,a>=0}
{ | ,0 1, 1,2, } 1 K V x x i n n i = = i i i = = K 叫做一个 n -方体.如果每一 i x 都等于 0 或 1, 就叫做 K 的一个项点.K 的顶点间 一切可能的距离是多少? 5．设 { , , , } 1 2 m 是欧氏空间 V 的一个规范正交组.证明,对于任意 V , 以下等式成立: = m i i 1 2 2 , | | . 6．设 V 是一个 n 维欧氏空间.证明 (i) 如果 W 是 V 的一个子空间,那么 W = W ⊥ ⊥ ( ) . (ii) 如果 1 2 W ,W 都是 V 的子空间,且 W1 W2 ,那么 ⊥ ⊥ W2 W1 (iii) 如果 1 2 W ,W 都是 V 的子空间,那么 ⊥ ⊥ ⊥ 1 + 2 = 1 + 2 (W W ) W W 7．证明, 3 R 中向量 ( , , ) 0 0 0 x y z 到平面 {( , , ) | 0} 3 W = x y z R ax + by + cz = 的最短距离等于 2 2 2 0 0 0 | | a b c ax by cz + + + + ． 8．证明,实系数线性方程组 = = = n j aij x j bi i n 1 , 1,2,, 有解的充分且必要条件是向量 n = (b1 ,b2 , ,bn ) R 与齐次线性方程组 = = = n j a ji x j i n 1 0, 1,2,, 的解空间正交. 9．令 是 n 维欧氏空间 V 的一个非零向量．令 = { | , = 0} P V ．
P称为垂直于a的超平面它是的一个n-1维子空间V中有两个向量5,n说是 位于P的同侧如果<5,a>与<n,a>同时为正或同时为负证明V中一组位于 超平面P同侧且两两夹都≥z的非零向量一定线性无关 [提示设{1,B2…B}是满足题设条件的一组向量则<B,B>0(i≠,并且不 妨设<B,a>01≤i≤)如果∑cB=0,那么适当编号可设 c;c2…;c,20cm…c.≤0,(1≤s≤1)令y=∑cB=-∑cB,证明y=0由 此推出c1=0(1≤i≤r) 10.设U是一个正交矩阵证明 (1)U的行列式等于1或-1 (i)U的特征根的模等于 (ⅲ)如果λ是U的一个特征根,那么也是U的一个特征根; (m)U的伴随矩阵U’也是正交矩阵 11设cosx≠0,且 0 U=0 cos0 -sin 8 0 sin e cos e 证明,I+U可逆,并且 000 (Ⅰ-U)I+U)=tan500 12证明:如果一个上三角形矩阵 a, A=00a
P 称为垂直于 的超平面,它是V的一个 n −1 维子空间.V中有两个向量 , 说是 位于 P 的同侧,如果 , 与, 同时为正或同时为负.证明,V 中一组位于 超平面 P 同侧,且两两夹角都 2 的非零向量一定线性无关． [提示:设 { , , , } 1 2 r 是满足题设条件的一组向量.则 , 0(i j) i j ,并且不 妨设 , 0(1 i r) i .如果 = = r i i i c 1 0 ,那么适当编号,可设 c1 ,c2 , ,cs 0,cs+1 , ,cr 0 ,(1 s r) ,令 = = + = = − r j s j j s i i i c c 1 1 ,证明 = 0 .由 此推出 ci = 0 (1 i r).] 10．设 U 是一个正交矩阵.证明: (i) U 的行列式等于 1 或-1; (ii) U 的特征根的模等于 1; (iii) 如果 是 U 的一个特征根,那么 1 也是 U 的一个特征根; (iv) U 的伴随矩阵 * U 也是正交矩阵. 11.设 0 2 cos ,且 = − 0 sin cos 0 cos sin 1 0 0 U . 证明, I +U 可逆,并且 − − + = − 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 ( )( ) tan 1 I U I U 12.证明:如果一个上三角形矩阵 = nn n n n a a a a a a a a a a A 0 0 0 0 0 0 33 3 22 23 2 11 12 13 1
是正交矩阵,那么A一定是对角形矩阵且主对角线上元素a是1或1 §73正交变换 证明:n维欧氏空间的两个正交变换的乘积是一个正交变换;一个正交变换 的逆变换还是一个正交变换 2.设σ是n维欧氏空间Ⅴ的一个正交变换证明:如果V的一个子空间W在 σ之下不变那么W的正交补W也在下不变 3.设Ⅴ是一个欧氏空间,a∈V是一个非零向量对于ξ∈V,规定 r(5)=5 2<5,a> <a,a> 证明,是V的一个正交变换,且r2=1,l是单位变换 线性变换τ叫做由向量a所决定的一个镜面反射当V是一个n维欧氏空间时,证 明存在V的一个标准正交基使得r关于这个基的矩阵有形状 010 在三维欧氏空间里说明线性变换τ的几何意义 4.设a是欧氏空间V到自身的一个映射,对5,n有(((m)=(5,m)证明 a是V的一个线性变换因而是一个正交变换 5.设U是一个三阶正交矩阵,且detU=1证明 (1)U有一个特征根等于1; (i)U的特征多项式有形状 f(x)=x'-tx+tx-1 这里-1≤t≤3 6.设{a1,ax2…an}和{,B2…,Bn}是n维欧氏空间V的两个规范正交基
是正交矩阵,那么 A 一定是对角形矩阵,且主对角线上元素 ij a 是 1 或-1. §7.3 正交变换 1．证明: n 维欧氏空间的两个正交变换的乘积是一个正交变换;一个正交变换 的逆变换还是一个正交变换. 2．设 是 n 维欧氏空间 V 的一个正交变换.证明:如果 V 的一个子空间 W 在 之下不变,那么 W 的正交补 ⊥ W 也在 下不变. 3．设 V 是一个欧氏空间, V 是一个非零向量.对于 V ,规定 = − , 2 , ( ) . 证明, 是 V 的一个正交变换,且 = 2 , 是单位变换. 线性变换 叫做由向量 所决定的一个镜面反射.当 V 是一个 n 维欧氏空间时,证 明,存在 V 的一个标准正交基,使得 关于这个基的矩阵有形状: − 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 在三维欧氏空间里说明线性变换 的几何意义. 4．设 是欧氏空间 V 到自身的一个映射,对 , 有 (),() = , . 证明 是 V 的一个线性变换,因而是一个正交变换. 5．设 U 是一个三阶正交矩阵,且 detU =1.证明: (i) U 有一个特征根等于 1; (ii) U 的特征多项式有形状 ( ) 1 3 2 f x = x − tx + tx − 这里 −1 t 3. 6．设 { , , , } 1 2 n 和 { , , , } 1 2 n 是 n 维欧氏空间 V 的两个规范正交基