第八章二次型 8.1习题 1.证明,一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同 2.对下列每一矩阵A,分别求一可逆矩阵P,使PAP是对角形式: 121 ()A=211 101 (l)A= l101 10 DA 11-1-1 3.写出二次型∑∑ 的二次型,使后者只 N/-川|x,的矩阵,并将这个二次型化为一个与它等价 变量的平方项. 4.令A是数域F上一个n阶斜对称矩阵,即满足条件A'=-A (iA必与如下形式的一个矩阵合同: 01 (i)斜对称矩阵的秩一定是偶数 (i)F上两个n阶斜对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩
第八章 二次型 §8.1 习题 1．证明，一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同． 2．对下列每一矩阵 A，分别求一可逆矩阵 P，使 PAP 是对角形式： (i) ; 1 1 3 2 1 1 1 2 1 A = (ii) ; 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 A = (iii) . 1 1 1 1 1 2 4 1 1 4 2 1 1 1 1 1 − − − − − A = 3．写出二次型 = = − 3 1 3 1 | | i j i j i j x x 的矩阵，并将这个二次型化为一个与它等价 的二次型，使后者只含变量的平方项． 4．令 A 是数域 F 上一个 n 阶斜对称矩阵，即满足条件 A = −A ． (i)A 必与如下形式的一个矩阵合同： − − 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 (ii) 斜对称矩阵的秩一定是偶数． (iii) F 上两个 n 阶斜对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩．
§8.2复数域和实数域上的二次型 1.设S是复数域上一个n阶对称矩阵.证明,存在复数域上一个矩阵A, 使得 S=AA 2.证明,任何一个n阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之 OO 若n=2v1,OO若n=2v+1 00 1 3.证明,任何一个n阶可逆实对称矩阵必与以下形式的矩阵之一合同 0 O 00 Im-2y)O 0 -In-2 4.证明,一个实二次型q(x1,x2…,xn)可以分解成两个实系数n元一次齐次 多项式的乘积的充分且必要条件是:或者q的秩等于1,或者q的秩等于2并且 符号差等于0. 5.令 543 A=453,B=010 332 -609 证明A与B在实数域上合同,并且求一可逆实矩阵P,使得P'AP=B 6.确定实二次型x1x2+x2x4+…x2x2的秩和符号差 7.确定实二次型az+bx+cxy的秩和符号差 8.证明,实二次型∑∑(4++nx(>1的秩和符号差与A无关 8.3正定二次型 1.判断下列实二次型是不是正定的 (1)10x2-2x2+3x32+4x1x2+4x1x2
§8.2 复数域和实数域上的二次型 1．设 S 是复数域上一个 n 阶对称矩阵．证明，存在复数域上一个矩阵 A， 使得 S = AA． 2．证明，任何一个 n 阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一： , 2 1. 1 , 2 ; = + = n v O O I O O O I O n v I O O I v v v v 若 若 3．证明，任何一个 n 阶可逆实对称矩阵必与以下形式的矩阵之一合同： . 2 2 − − n− v v v n v v v O O I I O O O I O O O I I O O O I O 或 4．证明，一个实二次型 ( , , , ) 1 2 n q x x x 可以分解成两个实系数 n 元一次齐次 多项式的乘积的充分且必要条件是：或者 q 的秩等于 1，或者 q 的秩等于 2 并且 符号差等于 0． 5．令 . 6 0 9 0 1 0 4 0 6 , 3 3 2 4 5 3 5 4 3 − − = A = B 证明 A 与 B 在实数域上合同，并且求一可逆实矩阵 P，使得 PAP = B． 6．确定实二次型 n n x x x x x x 1 2 + 3 4 + 2 −1 2 的秩和符号差． 7．确定实二次型 ayz + bzx + cxy 的秩和符号差． 8．证明，实二次型 = = + + n i n j ij i j xi x j n 1 1 ( ) ( 1) 的秩和符号差与 无关． §8.3 正定二次型 1．判断下列实二次型是不是正定的: (i) 1 2 1 3 2 3 2 2 2 10x1 − 2x + 3x + 4x x + 4x x ;
(i)5x2+x2+5x3+4x1x2-8x1x3-4x2x3 2.λ取什么值时,实二次型 是正定的 3.设A是一个实对称矩阵如果以A为矩阵的实二次型是正定的,那么就说 A是正定的证明,对于任意实对称矩阵A,总存在足够大的实数t,使得I+A是正 定的 4·证明,n阶实对称矩阵A=(an)是正定的,必要且只要对于任意 1≤i1<i2<…<i≤n,k阶子式 >0,k=1,2, 5.设A=(an)是一个n阶正定实对称矩阵证明 detA≤a1a2…am 当且仅当A是对角形矩阵时,等号成立 [提示:对n作数学归纳法,利用定理932的证明及习题4 6.设A=(an)是任意n阶实矩阵证明 (det3s∏a+a3+…+an)阿达马不等式) [提示:当detA≠0时先证明AA是正定对称矩阵再利用习题5] §8.4主轴问题 对于下列每一矩阵A求一个正交矩阵U,使得UAU具有对角形式 (1)A
(ii) 5 5 4 8 4 . 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 x + x + x + x x − x x − x x 2． 取什么值时,实二次型 2 1 2 2 3 3 1 4 2 3 2 2 2 (x1 + x + x ) + 2x x − 2x x − 2x x + x 是正定的. 3．设 A 是一个实对称矩阵.如果以 A 为矩阵的实二次型是正定的,那么就说 A 是正定的.证明,对于任意实对称矩阵 A,总存在足够大的实数 t ,使得 tI + A 是正 定的. 4 ．证明 , n 阶实对称矩阵 ( ) A = aij 是正定的 , 必要且只要对于 任 意 1 , i 1 i 2 i k n , k 阶子式 0, 1,2, , . 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 k n a a a a a a a a a k k k k k k i i i i i i i i i i i i i i i i i i = 5．设 ( ) A = aij 是一个 n 阶正定实对称矩阵.证明 det A a11a22 ann 当且仅当 A 是对角形矩阵时,等号成立. [提示:对 n 作数学归纳法,利用定理 9.3.2 的证明及习题 4.] 6．设 ( ) A = aij 是任意 n 阶实矩阵.证明 = + + + n j A a j a j anj 1 2 2 2 2 1 2 (det ) ( ) (阿达马不等式). [提示:当 det A 0 时,先证明 A A ' 是正定对称矩阵,再利用习题 5.] §8.4 主轴问题 1．对于下列每一矩阵 A,求一个正交矩阵 U,使得 U AU ' 具有对角形式: (i) = b a a b A ;
2-1 (i)A=-12 5-200 2200 005-2 2.设A是一个正定对称矩阵证明:存在一个正定对称矩阵S使得 A= S 3.设A是一个n阶可逆实矩阵证明,存在一个正定对称矩阵S和一个正交 矩阵U,使得A=US 提示:AA是正定对称矩阵于是由习题2存在正定矩阵S,使得AA=S2再 看一下U应该怎样取.] 4.设{A4}是一组两两可交换的n阶实对称矩阵证明存在一个n阶正交矩阵 U使得U′AU都是对角形矩阵 提示对n作数学归纳法并且参考66,习题9]
(ii) − − − − − − = 1 1 2 1 2 1 2 1 1 A ; (iii) − − − − = 0 0 2 2 0 0 5 2 2 2 0 0 5 2 0 0 A 2．设 A 是一个正定对称矩阵.证明:存在一个正定对称矩阵 S 使得 2 A = S ． 3．设 A 是一个 n 阶可逆实矩阵.证明,存在一个正定对称矩阵 S 和一个正交 矩阵 U,使得 A =US． [提示: A A ' 是正定对称矩阵.于是由习题 2 存在正定矩阵 S,使得 A A ' = 2 S .再 看一下 U 应该怎样取．] 4．设 { } Ai 是一组两两可交换的 n 阶实对称矩阵.证明,存在一个 n 阶正交矩阵 U,使得 U AiU ' 都是对角形矩阵. [提示:对 n 作数学归纳法,并且参考 6.6,习题 9.]