矩阵A为正定的充要条件是它的行列式的顺序主子式 全部大于零,即 a1,> 由此可见,正定矩阵必然是非奇异的 例2.1判断矩阵2是否正定 解 4>0 =8>0,230=13>0 A是正定的
矩阵A为正定的充要条件是它的行列式的顺序主子式 全部大于零，即 • 由此可见，正定矩阵必然是非奇异的． • • 例2.1 判断矩阵 是否正定． • • • 解 ∵ ， • • ∴ A是正定的． 11 12 1 11 12 21 22 2 11 21 22 1 2 0 0 0 n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a ， ， ， = 1 0 2 2 3 0 4 2 1 A 4 2 1 4 2 4 0 8 0 2 3 0 13 0 2 3 102 = = ，
§22方向导数与梯度 方向导数 所谓方向导数的概念是作为偏导数的一个推广 引入,它主要研究函数沿任一给定方向的变 定义22设R→R在点处可微,P是固定 不变的非零向量,是方向P上的单位向量,则 称极限 (=hm/x+)=/(x)(21) aP 1->0 为函数X在点处沿P方向的方向导数,式中 是它的记号
• 一、方向导数 • 所谓方向导数的概念是作为偏导数的一个推广 而引入，它主要研究函数沿任一给定方向的变 化率． • 定义2.2 设 在点 处可微，P是固定 不变的非零向量， 是方向P上的单位向量，则 称极限 • (2.1) • • • 为函数 在点 处沿P方向的方向导数，式中 是它的记号． §2.2 方向导数与梯度 1 f : R R n → X 0 e t f X t e f X P f X t ( ) ( ) lim ( ) 0 0 0 0 + − = → + f (X) X 0 P f X ( ) 0
定义23设→是连续函数, 且P≠0,若存在。0,当时都有, 则称P为在点处的下降方 向.若x+m>x,则称P为在点处的 上升方向 由以上两个定义可立刻得到如下的结论: 若 ,则从出发在附近沿P 方向是下降;若0,则从出发在附 近沿P方向是上升0
• 定义2.3 设 是连续函数， ， 且 ，若存在 ，当 时都有， • 则称P为在点处的下降方 • 向．若 ，则称P为在点处的 上升方向． • 由以上两个定义可立刻得到如下的结论： • 若 ，则 从 出发在 附近沿P 方向是下降；若 ，则从出发在附 近沿P方向是上升． 1 f : R R n → X 0 P 0 0 t (0, ) ( ) ( ) 0 X 0 f X + tP f ( ) ( ) 0 X 0 f X + tP f 0 ( ) 0 P f X f (X) X 0 X 0 0 ( ) 0 P f X
梯度 定义24以的n个偏导数为分量的向量称为在X处的梯度, 记为 V(= 0(X)0(X)Of(X) 梯度也可以称为函数关于向量Y的一阶导数 以下几个特殊类型函数的梯度公式是常用的: 1)若x=(常数),则x=0,即c=0 (2)bx)=b 证设b=bb,b。X ∑b 于是Wx的第个分量是 (b X) a(bx)=b 1,2,…,n 所以vbx)=b (3)v(XX)=2X (4)若O是对称矩阵,则xOX=20Y
• 二、梯度 • 定义2.4 以 的n个偏导数为分量的向量称为 在X处的梯度， 记为 • ． • • 梯度也可以称为函数 关于向量 的一阶导数． • 以下几个特殊类型函数的梯度公式是常用的： • （1）若 （常数），则 ，即 ； • （2） ． • 证 设 ，则 • 于是 的第 个分量是 • ． • • 所以 • （3） ． • （4）若Q是对称矩阵，则 f (X) f (X) 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) T n f X f X f X f X x x x = ， ， ， f (X) X f (X) = c f (X) = 0 c = 0 b X b T ( ) = 1 2 1 2 [ ] [ ] T T n n b b b b X x x x = = ，， ， ， ， ， ， = = n i i i T b X b x (b X) 1 T j 1 ( ) ( ) 1 2 n T i i j i j j b X b x b j n x x = = = = ， ，， ， b X b T ( ) = X X X T ( ) = 2 X QX QX T ( ) = 2
三、梯度与方向导数之间的关系 定理2.1设在点处可微,则 0(X0) Vf(Xo) 其中c是P方向上的单位向量 由这个定理容易得到下列结论: 1)若(X)P<0,则P的方向是函数在点处 的下降方向; 2)若vxP>,则的方向是函数在点 处的上升方向 方向导数的正负决定了函数值的升降,而升降 的快慢就由它的绝对值大小决定.绝对值越大, 升降的速度就越快,目
• 三、梯度与方向导数之间的关系 • 定理2.1 设 在点 处可微，则 • ， • 其中 是 方向上的单位向量. 由这个定理容易得到下列结论： • (1)若 ，则P的方向是函数在点 处 的下降方向； • (2) 若 ，则 的方向是函数在点 处的上升方向． • 方向导数的正负决定了函数值的升降，而升降 的快慢就由它的绝对值大小决定．绝对值越大， 升降的速度就越快，即1 f : R R n → X 0 f X e P f X T ( ) ( ) 0 0 = e P f (X0 ) P 0 T f (X0 ) P 0 T X 0 P X 0