来看一下在复数域与实数域上多项式的因式分解复数域与实数 域既然都是数域，因此前面所得的结论对它们也是成立的.但是这 两个数域又有它们的特殊性，所以某些结论就可以进一步具体化 对于复数域，我们有下面重要的定理： 代数基本定理每个次数≥1的复系数多项式在复数域中有 这个定理的证明在本课程中不讲，将来利用复变函数论中的 结论，可以很简单地证明 利用根与一次因式的关系（本章$7窟理7的推论代数基 本定理显然可以等价地叙述为： 每个次数1的复系数多项式，在复数城上，定有，个，次 因式 由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式全是可约的 换句话说，不可约多项式只有一次多项式，于是，因式分解定理在 复数域上可以叙述成： 复系数多项式因式分解定理每个次数≥1的复系数多项式 在复数域上都可以唯，地分解成，改因式的乘积 因此，复系数多项式具有标准分解式 f(x)=an(x-a1)1(x-a2).(x-a, 其中a1,a2,.,a,是不同的复数，l,12,.,儿，是正整数.标准分 解式说明了每个”次复系数多顿式给有”个复龈（重根按重数 计算) 下面来讨论实系数多项式的分解 对于实系数多题式，以下的事实是基本的，即，如果g是实系 数多项式f(x以的复根，那么。的共轭数。也是f代x)的根因为 设 f(x）=ax+ae-1x"-1+.+4o, 其中a0,a1,.,a.是实数由假设 ·27
f（a)=a,a"+an-la"-1+.+an=0 两边取共轭数，有 f(a)=aa+aa-:8”-1+.+ao=0, 这就是说，f(a)=0,a也是f(x)的根 由此可以证明 实系数多项式因式分解定理每个次数≥1的实系数多项式 在实数坡上都可以唯，地分解成，次因式与：次不可约因式的 乘积 证明定理对一松多项式显然成立. 假设定理对次数<n的多项式已经证明 及f(t)是n饮实系数多项式由代数基本定理，孔x)有一 复根a如果a是实数，那么 $f(x）=(x-)f(x), 其中f1(x》是n-1次实系数多项式如果不是实薮，那么d也 是f(x)的根且a≠a于是 f（xy=(x,a)x&f其.* 显然(x-a)(x-a)=x2~(a+a)x平：a是一实泰数二次不可 约多项式从而f2(x)是”一2次实系数多项式曲姆纳法假定， f,(x)或f2(x)可以分解成一次与二次不可约多项式的乘积，因 之f(x)也商以如此分解I ·“因此，实系数多项式具有标雅分解式 f（x)=a,(x-c1）'1.(x-c,)(x2+p1x+q1). .(x2*,x+g产， 其中c1.,p1,.,力g1,.,9,全是实数，1，l,k1, 花，是正整数，并且x2+px+q,(t=1,2,.,)是不可约的，也就 是适合条件-4g,<0,1=1,2,.,r 代数基本定理虽然肯定了n次方程有n个复根，但是并设有 给出根的一个具体的求法高次方程求根的问题还远远没有解决 ·28·
特别是在应用方面，方程求根是一个重要的问题，这个问题是相当 复杂的，它构成了计算数学的一个分支，在这里我们就不讨论了 §9有理系数多项式 现在再来看有理数域上一元多项式的因式分解作为因式分 解定理的一个特殊情形，我们有，每个次数≥1的有理系数多项式 都能唯一地分解成不可约的有理系数多项式的乘积但是对于任 意一个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是一个很复杂 的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容 易解决的问题，这一点是有理数域与实数域、复数域不同的在复 数域上只有一次多项式才是不可约的，而在实数域上不可约多项 式只有一次的和某些二次竹我们不打算二般地来讨论这些问题， 在这一节我们主要是指出有理系数多项式的两个重要的事实第 一，有理系数多项式的因式分解的问题，可以的结为整（数）系数多 项式的因式分解问题，并进而解决求有理系数多项式的有埋根的 问题第二，在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式 设设 f(x)=ax"+an-x"-+.+ao 是一有理系数多项式选取适当的整数c乘f(x),总可以使 cf(x)是一整系数多项式如果cf(x)的各项系数有公因子，就可 以提出来，得到 cf(x）=dg(x), 也就是 f(x)=g(x), 其中g(x)是整系数多项式，且各项系数设有异于±1的公因子 例如 子x-2x2-子x=(5x-15x2-3x) ·29·
如果，个非零的整系数多项式g(z)=b+b,-1x-1+.+b 的系数b,b-1,.,b,没有异于±1的公因子，也就是说，它们是 互素的，它就称为，个本原多项式上面的分析表明，任何一个非 季的有理系数多项式(x)都可以表示成一个有理数，与一个本 原多项式g(x)的乘积，即 f(x)=rg(x) 可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的亦即，如果 f(x)=rg(x)=rg(x), 其中g(x),g1(x)都是本原多项式，那么必有 r=土r1,g(x)=±g1(x） 因为f(x)与g(x)只差一个常数倍，所以f(x)的因式分解 问题，可以归结为本原多项式g(x)的因式分解问题下面我们进 一步指出，一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数 多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘 积的问题是一致的作为准备，我们先证 定理10（高斯(Gus)引理）两个本原多项式的乘积还是本 原多项式 证明设 f(x)=ae”+a,-1x”1+.+a0, g(x)=bnw”+b-1x”-1+.+b0 是两个本原多项式，而 h(x)=fx)g(x）=d+x+m+d+m-1x+m-1+.+d, 是它们的乘积我们用反证法如果(x)不是本原的，也就是说， h(x)的系数dn+m,d+m1,.,d0有一异于±1的公因子，那么 就有一个素数pD能整除h(x)的每一个系数因为f(x)是本原 的，所以卫不能同时整除f(x)的每一个系数令a,是第一个不能 ①素数也叫做质数 ·30·
被p整除的系数，即 pa0,.,pa,-1,p1a 同样地，g(x)也是本原的，令b,是第一个不能被p整除的系数， 即· 币1ba,.,pb,-1,p16, 我们来看h(x)的系数d,+,由乘积定义 d=a+aba 1 +a16,1+a,-26,+2+ 由上面的假设，力整除等式左端的d,力整除右嘴。名，以外 的每，项，但是力不能整除a,这是不可能的这就证明了， h《x)二定也是本原多项式【 1飞经八华 曲此我们来评明， k帆快。、 定理11如果，非琴的整系数多项式憨分解感两合次数 较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较 低的整系数爹顿式的蠊积动· ,)贯 证明设整系数多项式f(x)有分解式 f(x)=g(x)h(x), 其中g(x),h(x)是有理系数多项式，且 a(g(x))<(f(x),a(h(）)<∂(f(x)) f(x)=af(x), g(x）=rg1(x),h(x)=,(x); 这里f(x),g(x),h,(x)都是本原多项武，d是整数，r,s悬有 理数于是 af1（r)=rsgt(x)h1(x) 由定理10，g1(x)h1（x)是本原多项式，从而 8=±a, 这就是说，s是一整数因此，我们有 f(x)=(rsg(x))hi(x) 31