由以上讨论可以看出，带余除法是一元多项式因式分解理论 的基础我们知道，整数也有带余除法，即 对于任意整数Q,b,b≠0，都存在唯，的整数4,7，使 a=gb+r. 其中0≤r<|b1 整数的因式分解理论能够类似地得出，读者可以参考附录二 进行自学 §6重因式 定义9不可约多项式()称为多项式f(x)的k重因式， 如果书(x)川f(x),而p(x)计f(x) 如果本=0，那么(x)棍本不是f(x)的因式：如果=1，那 么(x)称为f(x的单因式；如果>1，那么p(x)称为f(x)的 重因式 显然，如果f(x)的标推分解式为 f(x)=c好(x)2(x.p的(x), 那么(x),中p2(x）,·,p,(x)分别是f(x》的r1重r?熏，.，r, 重因式指数r.=1的那些不可约因式是单因式指数，？1的那 些不可约因式是重因式 因为没有一般的方法来求一个多项式的标准分解式，判别有 没有垂因式的阿题就需要用另外的方法解决， 设有多项式 fx）=ax+a-1x”-1++a1x+40 我们规定它的微商（也称导数）是 f(x）anz-1+a,-1(n-1)x-2+.+a1 这种规定自然是来源于数学分析，但是在目前的情况下，我们只把 它当作是一个形式的定义通过直接的验证，可以得出关于多项式 ·22·
微商的基本公式： (f(x》+g(x))=f(x)+g'(x), (cf(x))'=cf(x), (f(x)g(x))'=f(x)g(z)+f(x)g'(z), （f"(x)/=m(f1(x)f(x) 同样可以定义高阶微商的概念微商f(x)称为f(x)的一阶 微商；f(x)的徽商”(x)称为f代x)的二阶撤商：等等f代x)的 阶微商记为f)(x) 一个n(n≥1)次多项式的徽商是一个”-1次多项式；它的 n阶徽商是T个常数；它的n+1阶微商等于零 定理6如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式（兔≥ 1),那么它是徽商f(x)的-1重因式 证明由假设，f(x)可以分解为 f(x）=p(x)g(x); 其中p(x)不能整除g(x)因此 f(x)=书-(x)(g(x)p(x)+p(x)g'（x), 这说明p-1(x川f(x)如果令 h(x)=kg(x)p'(x)+p(z)g(x) 那么p(（x)整除等式右端的第二项，但不能整除第一项，因此 p(x)不能整除h(x),从而p(x)不能整除f(x)这说明(x) 是f(x)的-1重因式I 推论1如果不可约多项式p(x)是f(x)的飞重因式（免≥ ),那么(x)是f(x),f(x),f“-”(x)的因式，但不是 )(x)的因式 证明根据定理6，对飞作数学归纳法即得1 推论2不可约多项式p(x)是(x)的重因式的充分必要条 件为(x)是f(x)与f(x)的公因式 证明f(x)的重因式必须是f(x)的因式：反过来，如果 f(x)的不可约因式也是f(x)的因式，它必定不是：f(x)的单因 ·23·
式1 推论3多项式f(x)没有重因式的充分必要条件是f(x)与 f(x)互素I 这个推论表明，判别一个多项式有没有重因式，可以通过代数 运算—辗转相除法来解决，这个方法甚至是机械的 有些时候，特别是在讨论与解方程有关的问题时，我们常常希 望所考忠的多项式没有重因式为此，以下的结果是有用的 设f(x)具有标准分解式 f(x)=cp(x)2(.(x》 根据定理6，f(x)与∫(x的最大公因式必须其有标准分解式 的(x经1()小.p(x) 于是 f(x) (fz,f(x刀=c(x)p2(x).p,(x) 这是一个没有重因式的多项式，佴是它与f(x)具有完全相同的 不可约因式因此，这是一个去掉因式重数的有效办法 §7多项式函数 直到现在为止，我们始终是纯形式地讨论多项式，也就是把多 项式看作形式的表达式在这一节，我们将从另一个观喜，即函数 的观点来者张多项式 设 f(x)=ax+a-1x”-1+.+a1x+a0 (1) 是P[x]中的多项式，a是P中的数，在(1)中用a代x所得的数 ag+a+a-1+.+qja+a0 、动 称为f(x)当x=a时的值，记为fa).这样一来，多预式f（x就 定义了一个数域P上的函数可以由一个多项式来定义的函数称 为数域P上的多项式函数.当P是实数域时，这就是数学分析中 ·24·
所讨论的多项式函数 因为在与数城P中的数进行运算时通合与数的运算相同 的运寡规律，所以不雕看出，如果 h1(x)=f(x)+g(x), h2(x)=f(x)g(x), 那么 h1(a)=f(a）+g(a), 五2(a)=f(a)g(. 利用带余除法，我们得到下面常用的定理于5Ψ$宝 定理7（余数定理）用叶次多项式x一转除多项式f(x, 所得的余式是，个常数，这个常数等于函数值f(α) 证明用x一a去除f(x),设商为g(x),余式为一常数c,于 f(z)=(x-a)q(x)+c 以a代x,得 fa)=c. 如yx)在x士a时函数值f(a)=0,那么a就称为f(x) 的一个根或零点 由朵数定理我们得到根与一次因式的关系： 推枪a是f代x)的根的充分必要条件是(x一a)x小1 由这个关系，我们可以定义重根的概念á称为F(士)的重 根，如果(x2)是x的夷垂因武当是1时，a称为单根当 无≥1时，a称为量根： 定理8P[x]中n次多项式（π）在数域P中的根不可能 多于n个，重根按重数计算 证明对次多黄武定建蕴然成立产 设f(x)是一个次数>0的多项式把f(x)分解成不可约多 项式的乘积由上面的推论与根的重数的定义，显然(x)在数域 P中根的个数等于分解式中一次因式的个数，这个数目当然不超 ·20·
过nI 在上面我们看到，每个多项式函数都可以由一个多项式来定 义不同的多项式会不会定义出相同的菌数呢？这就是问，是否可 能有 f(x)≠g(x), 而对于P中所有的数a都有 f(a)=g(e)? 由定理8不难对这个问题给出一个否定的回答 定理9如果多项式f(x),g(x的次数都不超过n,面它们 对n+1个不同的数a1,a2,“,a。+1有相同的值，即 f(a)=g(a.), 1=1,2,.,n+1,那么f(x)=g(x) 证明由定理的条件，有 f(a,)-g(a,)=0,t=1,2,.,n+1 这就是说，多项式f(x)-g(x)有n+1个不同的根如果 f八x)一g(x)≠0，那么它就是一个次数不超过n的多项赋，由定 理8，它不可能有n+L个根因此，f(x)=g(x)司s 因为数域P中有无穷多个数，所以定理9说明了，厨的多 项式定义的函数也不相同：如果两个多项式定义相同的函濑就称 为恒等，上面的结论表明多项试的恒等与多项式相等实际上是一 致的，换句语说，数域上的多项式既可以作为形式表达式来处理， 也可以作为函数来处理但是应该指出，考虑到念后的应用与推 广，多项式看成形式表达或要方便些， §8复系数与实系数多项式的 因式分解 以上我们讨论了在一般数域上多项式的因式分解问题，现在 ·26·