这里rg,(x)与h,(x)都是整系数多项式，且次数都低于f(x)的 次数」 由定理的证明容易得出 推论设f(x),g(x)是整系数多项式，且g(x)是本原的 如果f(x）=g(x)h(x),其中h(x)是有理系数多项式，那么 h(x)一定是整系数的 证明留给读者自己完成【 这个推论提供了一个求整系数多项式的全部有理根的方法 定理？设 f(x)=atta++ao 是，个整系数多项式，而是它的，个有理根，甚中r,耳家，那 么必有sa,|a。特别地，如果f(x)的首蠖率数a:x逢，那么 f代2)的有票酸菲感警根.面且是a,的因子： 1与年：， 1}2 证明因为是f(x)的一个有理根因此在有理城上： (x-)), 从而 113 )(x-r)lf(x).: 因为r,s互素，所以x·”是一个本原多项式根据上述推论， f(x)=(c-rK6.-1x”1+.tbg）, 我中b-1,b都是整数：比较两边系数，即得 a.=sb,-1,ao=-rbo 因此 slarlabI 例1求方程 2x4-x3+2x-3出0 的有理根 ·32·
这个方程的有理根只可能是±1，士3，士乞，土2用剩余除法 可以得出，除去1以外全不是它的根，因之这个方程的有理根只有 x=1 例2证明 f(x)=x3-5x+1 在有理数域上不可约 如果f(x)可约，那么它至少有一个一次因子，也就是有一个 有理根但是f(x)的有理根只可能是±1直接验算可知士1全不 是根，因而f(x)在有理数城上术可约 以上的讨论解决了我们提出的第一个问题，现在来解决第二 个问题首先我们来证明 定理13（艾森斯昶(Cisenste1n)判别法）设 f(x）=ax”+a-1x"-1+·+a0 是，个整系数多项式如果有，个素数户，使得 1p1a.: 2plam-1,aw-2,.,ani 3 p2tan 那么f(x)在有理数域上是不可约的 证明如果f(x)在有理数域上可约，那么由定理11，f(x) 可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积： f(x)=(6r+b-1x-1+.+bo)(cnx"+cn-1z"-1+. +co) (l,m<n,l+m=n） 因此 an=bcmao=boco 因为plap,所以p能整除b或c。但是p2十ao,所以p不能 同时整除b,及c。因此不妨假定b。但p十c。另一方面，因为 ·33·
力十a。,所以pb:假设b。,b1,.,b,中第一个不能被力整除的是 b比较f(x)中x的系数，得等式 ag=bco+b4-1c1+·+bgc 式中ak,b-t,.,b。都能被p整除，所以baco也必须能被力整 除但是p是一个素数，所以b:与。中至少有一个被卫整除这 是一个矛盾I 根据定理13，可知对于任意的知，多项式 x+2 在有理数城上是不可约的由此可见在有理数域上，存在任意次 数的不可的多项式 ·§10多元多项式 在前面我们讨论了一元多项式的基本性硬.但是除去一元多 项式外，还有含多个文字的多项式，即多元多项式，如x2一y, x3+y+之3-3xyz等现在就来简单地介绍一下有关多元多项式 的一些概念 攻P是一个数域，x1,工2，.，z,是n个文字.形式为 ax的x.x喜 (1) 的式子，其中Q属于P,k1,2,.,k是非负整数，称为一个单项 式 如果两个单项式中相同文字的幕全一样，那么它们就称为同 类项一些单项式的和 a,与，守x安.t (2) 名k 就称为元多项式，或者简称多项式， 和一元多项式一样，”元多项式也可以定义相等、相加、相减、 相乘例如， ·34·
(5xx2x号+4x7xx1）+(2x1xx3-xix2x3） =5xix2x3+6xizix;-xixax3, (5xx2x号+4xxix3)(2xix2x-xx2x3） =10xix2x3-5xixir3+8xixix3-4xix2x3 与一元的情况相仿，我们有 定义10所有系数在数域P中的”元多项式的全体，称为 数域P上的n元多项式环，记为 Px1,x2.,x] k,十2+.+k:称为单项式(1)的次数当一个多项式表成 一些不同类的单项式的和之后，其中系数不为零的单项式的最高 次数就称为这个多项式的次数例如，多项式 3x1xi+2r1xixs+x3 的次数为4 虽然多元多项式也有次数，但是与一元多项式的情况不同，我 们并不能对多元多项式(2)中的单项式按次数给出一个自然排列 的顺序，因为不同类的单项式可能有相同的次数我们看到，一元 多项式的降幂排法（或者升幂排法）对于许多问题的讨论是方便 的同样地，为了便于以后的讨论，我们对于多元多项式也引入一 种排列顺序的方法，这种方活是模仿字典排列的原则得出的，因而 称为字典排列法 每一类单项式(1)都对应一个n元数组 (k1,2.,kn）、 （3) 其中兔，为非负整数.这个对应是1一1的为了给出单项式之间-一 个排列顺序的方法，我们只要对于”元数组(3)定义一个先后顺 序就行了 如果数 k1l1,k2-2,k。-n 中第一个不为零的数是正的，也就是说，有≤n使 ·35·
k1-11=0,.,k.-1一1，-1=0，克.-l,>0 那么，我们就称n元数组(3)先于n元数组 (L1l2,.,.）, (4) 并记为 (k1,2,.,k.）>(1i,l2,.,ln) 例如， (1,3,2)>(1,2,4). 由定义立即看出，对于任意两个n元数组(3)，(4)，关系 (1a,.,克)>（化1l2,）, (兔，克2，.，k)=(11,2,.,）, (l1,l2,.,l,）>(k1,k3,“,t.） 中有，个且仅有，个成立同时，关系“>”具有传递性，即，如果 (k1,k2,.,k.）>(l:l2,.,1.), (1,l2,.,l)>(m1,m2,m）, 那么（兔1,2，.，k,）>(m1,m2,.,m)事实上，由km,= (,一L,)+(L,~m,)即得上面的结论因之，这样的确给出了外元 数组之间的一个顺序相应地，单项式之间也就有了一个先后顺 序例如多项式 2x1xi知+xix2+x i 按字典排列法写出来就是 xi+zitz+2rizixi 按字典排列法写出来的第一个系数不为零的单项式称为多项 式的薰项.例如，x就是上面这个多项式的首.应该注意，首项 不一定具有最大的次数、当=L时，字典排列法就时结为以前的 降幂排法 对于字典排列法，我们有 定理14当∫(x1,x2,.,x)≠0,8(x,x2,.,x)≠0时， 乘积f(1,x,.,x)g(x1,x2,x.)的首项等于f(x1,2, ·36·