因为f(x)川g(x)h(x),所以f(x)整除等式左端，从而 f(x)h(x) 推论如果f(x)川g(x),f2(x)川g(x),且(f（x),f2(x) =1,那么f(x)f2(x)川g(x) 证明由f,（x)川g(x)有 g(x)=f(x)h(x） 因为f2(x)川(x)h,(x),且(f（x),f2(x)=1,所以根据定理 4,有f2(x)h,(x),即 h1(x）=f2(x)h2(x), 代入上式即得 g(x)=f1(x)f2(x)h2(x) 这就是说， (x)f6(x)1g(x)1 在上面，最大公因式与互素的概念，都是对两个多项式定义 的事实上，对于任意多个多项式(x),f(x),.,f(x(s≥2) 也同样可以定义最大公因式d(x)称为人(x),f(x,.,f,(x) (s≥2)的，个最大公因式，如果d(x)具有下面的性质： 1)d(x）lf.(x),2=1,2,.,s; 2)如果p(x)lf(x),2=1,2,.,s,那么(x)ld(x) 我们仍用符号(f(x),f2(x),.,f(x)来表示首项系数为 1的最大公因式不难正明，f1(x),f2(x),.,∫，(x)的最大公因 式存在，而且当(x),f(x),f(x)全不为零时， (f(x),f2(x).,f,-1(x),f(x)) 就是f1(x),f2(x),.,f(x)的最大公因式，即 (月(x）,f2(x),.,f(x)) =(f(x),f2(x,.,f,-(x),f(x)) 同样，利用以上这个关系可以证明，存在多项式“，(x),=1,2, ·7·
·,5,使 4,(x)f(x)+42(x)f2(x)+.+u,(x)f(x） =（f(x),f2(x),.,f(x) 如果(f(x),f2(x), ,f(x)=1,那么f(x),f2(x), f(x)就称为互素的同样，有类似于定理3的结论 这些证明全留给读者完成（见本章末补充题4） §5因式分解定理 在这一节，我们时论多项式的因式分解在中学所学代数里我 ]学过一些具体方法，把一个多项式分解为不能再分的因式的乘 积但那里并没有深入地讨论这个问题那里所用不能再分，常常 只是我们自己看不出怎样再分下去的意思，并没有严格地论证它 们确实不可再分所谓不能再分的概念，其实不是绝对的，而是相 对于系数所在的数域而言的例如，在有理数域上，把x一4分解 为 x4-4=（x2-2)(x2+2y 的形式就不能再分了但在数域Q(√2)（参看本章$1）上，或更扩 人一些，在实数域上，就可以进一步分解成 x4-4=(x-√2)(x+√2)(x2+2) 而在复数域上，还可以更进一步分解成 x4-4=(x-V2)(x+√2)(x-√21)(x+V2) 由此可见，必须明确系数域后，所谓不能再分才有确切的涵义 在下面的讨论中，仍然选定一个数域P作为系数域，我们考 虑数域P上的多项式环P[x]中多项式的因式分解 定义8数域P上次数≥1的多项式p(x)称为域P上的不 可的多项式，如果它不能表成数城P上的两个次数比(x)的达 效低的多项式的乘积 ·18·
按照定义，一次多项式总是不可约多项式 正如上面指出的，x?+2是实数域上的不可约多项式，但是它 在复数域上可以分解成两个一次多项式的乘积，因而不是不可约 的这就说明了，个多项式是否不可约是侬赖于系数域的 显然，不可约多项式(x)的因式只有非零常数与它自身的 非苓常数倍cp(x)(c≠0)这两种，此外就没有了反过来，具有这 个性质的次数≥1的多项式一定是不可约的由此可知，不可约多 项式p(x)与任，多项式f(x)之间只可能有两种关系，或者 (x)川f(x)或者(p(x),f(x)=1事实上，如果((x),f(x) =d(x),那么d(x)或者是1或者是c中(x)(c≠0)当d(x)= cp(x)时，就有(xf(x) 不可约多项式有下述的重要性质 定理5如果(x)是不可约多项式，那么对于任意的两个多 项式f(x),(x),由p(x)f(x)g(x)一定推出(xf(x)或 者p(x)lg(x) 证明如果p(x)川f(x),那么结论已经成立 如果p(x)片f(x),那么由以上说明可知 (p(x),f（x))=1 于是由定理4即得p(x)川g(x)1 利用数学归纳法，这个定理可以推广为：如果不可约多项 式p(x整除，些多项式f（x),f。(x),.,天，(x)的乘积 f(x)f,(x).f(x),那么(x)一定整除这些多项式之中的 ,个 下面来证明这一章的主要定理 因式分解及唯一性定理数域P上每，个次数≥1的多项式 儿x)都可以难一地分解成数圾P上，些不可约多项式的乘积 所增唯，性是说，如果有两个分解式 f（x)=p1(x)p2(x).p.(x)=q,(x)q2(x)·9,(x), ·19·
那么必有5=：，并且适当排列因式的次序后有 p,(x）=c9,（x),t=1,2,.,5, 其中c,(*1,2,.,s)是，些非零常数 证明先证分解式的存在我们对f(x)的次数作数学归 纳法 因为一次多项式都是不可约的，所以n=1时结论 成立 设a(f(x)=n,并设结论对于次数低于n的多项式已经 成立 如果f(x)是不可约多项式，结论是显然的，无妨设f(x)不 是不可约的，即有 f(x)=f(x)f(x), 其中f(x),2（x)的次数都低于？由归纳法假定方(x)和 2(x)都可以分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.把 f(x),f2(x)的分解式合起来就得到f(x)的一个分解式 由归纳法原理，结论普遍成立 再证唯一性设孔x)可以分解成不可约多项式的乘积 f(x)=p(x)p2(x)小“p(x） 如果(x)还有另一个分解式 f(x)=q(x)g2(x).9.(x）, 其中g,(x)(=1,2,·,t)都是不可约多项式，于是 f（x）=,(x}p,(x“p,(x）°q1(x)g2（x）.g.(x）(1) 我们对s作归纳法当s=1,f(x)是不可约多项式，由定义 必有 s=t=1, 且 f(x)=p1(x)=q(x). 现在设不可约因式的个数为s一上时唯一性已证 ·20·
由(1)，1(x)q1(x)g2(x).q,(x),因此，p1(x)必能除尽 其中的一个，无妨设 p,(x)1g:(x) 因为91(x)也是不可约多项式，所以有 p,(x)=c191(x）, (2) 在(1)式两边消去9，(x),就有· p(x)p.(x）=ci'q2(x).g.(x) 由归纳法假定，有 -1占t-1,即s=t, (3) 并且适当排列次序之后有 p2(x)=c'2cq2(x）,即p2(x)=c2gz(x）, p.(x)=c,q.(x)(t=3,.,s) (4) (2),(3),(4)合起来即为所要证的这就证明了分解的唯一性1 应该指出，因式分解定理虽然在理论有其基本重要性，但是 它并没有给出一个具体的分解多项式的方法实际上，对于工般的 情形，普追可行的分解多项式的方法是不存在的 在多项式(x)的分解式中，可以艳每一个不可约因式的首 项系数提出来，使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不 可约因式合并：于是f(t)的分解式成为 f(x）=cp(x)p好(x).好(x) 其中c是f(x)的首项系数，力：x）,(x),.,(x）是不周的首 项系数为1的不可约多项式，而r1,r2,”是正整数这种分解 式称为标准分解式 如果已经有了两个多项式的标准分解式，我们就可以直接写 出两个多项式的最大公因式多项式f(x)与g(x)的最大公因式 d(x)就是那些同时在f(x)与g(x)的标准分解式中出现的不可 约多项武方幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在f(x)与g(x) 中所带的方幂中的较小的一个 ·21