通常，1(x)g,（x)+u2(x)g2(x)++u,（x)g,（x》称为 多项式8(x),g,(x）,”,g,(x)的一个组合 由以上的性质可以看出，多项式f(x）与它的任一个非零常 数倍cf(x)(c≠0)有相同的因式，也有相同的倍式因之，在多项 式整除性的讨论中，f(x)常常可以用cf(x)来代替. 最后我们指出，两个多项式之间的整除关系不因为系数域的 扩大而改变也就是说，如果f(x),g(x)是P[x]中两个多项式 P是包含P的一个较大的数域当然，f(x),g(x)也可以春成是 P[x]中的多项式从带余除法可以看出，不论把(x),g{)看成 是P[x]中或者是P[x]中的多项式，用g(x)除f(x)所得的 商式及余式都是一样的，因此，如果在P[x]中g(x)不能整除 f(x),那么在x]中，g(x也不熊整除f() §4最大公因式 如果多项式p(x)既是(x)的因式，又是g(x)的因式，郝 么P(x)就称为f(x)与g(x)的一个公因式在公因式中占有特 殊重要地位的是所谓最大公因式 定义6设f(x),(x)是P[x]中两个多项式P[]电多项 式d(x称为f(x),g(x)的，个最大公因式，如果它满是下面辆 个条件： 1)d(x)是f(x),g(x)的公因式： 2)f(x),g(x)的公因式全是d(x)的因式 例如，对于任意多项式f(x),f(x)就是f(x)与0的一个最 大公因式特别地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是0 在有了以上的定义之后，我幻首先要解决的是最大公因式的 存在问题，以下的证明也给出了一个具体求法 最大公因式的存在性的证明主要根据带余除法，关于带余除 法我们指出以下事实： ·12·
引理如果有等式 f(x)=q(z)g(x）+r(x) (1) 成立，那么f(x),g(x)和g(x),r(x)有相同的公因式 证明如果p(z)川g(x),p(x川r(x),那么由(1)，(x)川 f(x)这就是说，g(x),r(x)的公因式全是f(x),g(x)的公因 式反过来，如果(x)if(),9(x)川g(x),那么p(x)一定整除 它们的组合 r(x)=fx）-q(x)g(x) 这就是说，9(x)是g(x),r(x)的公因式由此可见，如果 g(x),r(x)有一个最大公因式d(x),那么d(x)也就是f(x), g(x)的一个最大公因式 定理2对于P[x]中任意两个多项式f(x),g(x),在 P[x]中存在，个最大公因式d(x),且d(x）可以表成f(x), g(x)的，个组合，即有P[x]中多项式a(x),(x)使 d(x)=u(x)f(x)+v(x)glx) (2) 证明如果f(x),g(x)有一个为零，警如说，g(x)=0,那么 f(x)就是一个最大公因式，且 f(x)=1"f(x)+10 下面来看一殷的情形无妨设g(x)≠0.按带余除法，用g(x) 除f(x),得到商91(x),余式r（x):如果1(x）≠0，就再用 r1(x)除g(x),得到商q2(x),余式r2(x);又如果r2(x)≠0，就 用r2(x)除r(x),得出商q(x),余式，(x):如此爆转相除下 去，显然，所得余式的次数不断降低，即 a(g(x)>(r1(x)>a(r2(x)>. 因此在有限次之后，必然有余式为零于是我们有一串等式： f（x)=q(x)g(x）+r,(x), g(x)=q2(x)r1(x）+r2(x）, 。 ·13·
r:z(x)=q（x)r-1(x)+r(x), . r,3（x)=q-1(x)r-2(x）+r-1(x), r,z(x)=q,(x)r-(x)+r,(x), r,(x)=9+1(x)r,(x）+0 r,(x)与0的最大公因式是r,(x)根据前面的说明，r(x)也就 是r,(x)与y-1（x)的一个最大公因式同样的理由，逐步推上去， r,(x)就是f(x)与g(x)的一个最大公因式 由上面的倒数第二个等式，我们有 r(x)=r-2(x）-q,(x)r,-(x) 再由倒数第三式，-1(x)=r-3(x）-9(x)r,-2(x),代入上式 可消去r-1(x),得到 r,（x)=(1+q(x)g,-(x))r2(x）-qa(x)r-s(x). 然后根据同样的方法用它上面的等式逐个地消去，-2(x),., r,(x),再并项就得到 r,(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x), 这就是定理中的(2)式ㄧ 由最天公因式的定义不难看出，如果d,(x),d2(x)是 f(x)与g(x)的两个最大公因式，那么一定有d:(x)川d2(x)与 d2(x)川d(x).也就是d(x)=cd2(x),c≠0这就是说，两个多 项式的最大公因式在可以相差个非苓常数倍的意义下是唯，确 定的我们知道，两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非 多多项式在这个情形，我们约定，用 (f(x),g(x)) 来表示首项系数是1的那个最大公因式 定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法 例设 ·14·
f(x)=x4+3x3-x2-4x-3, g(x）=3x3+10x2+2x-3, 求(f(x),g(x),并求(x),(使 (f(z),g(x))=u(I)f()+v(x)g(z) 辗转相除法可按下面的格式来作： g(r) f(x) 92(x)=3x+10x2+2x-3 x+3x3-x2-4x-3 1 -29x+93x+152+18红 x+9x3+子x2-x 1(x) -5x2-16.x-3 号八多x3r-3 -5x2-25.x-30 号9-子+ r2(x)=9x+27 x)=-多r-9:-9 高9 -多-号x (x) -9x-9 -9-9 0 用等式写出来，就是 fx)-(3x-)g)+(-多2-岁x-9), gx=(←号x+9(-哥x2-罗x-号}+9x+7). -音x2-0-9-(x)9x+27) 因此 (f(r),g(x)=x+3 而 ·15·
9x+27=gx)-(3x+9(-号x-写x-9》 =g(x)-（-3x+9)儿Fx)-(3x号)g)] =(3x9)fx)+[1-(?x-9号x-号小g(z) =(得-✉)+（号2+3(. 于是，令u(x)=子x-1,(z)=-号+号x,就有 (f(z),g(x))=u(z)f(z)+v(x)g(x) 定义1P[x]中两个多项式f(x),g(x)称为互囊（也称互 质)的，如果(f(x),g(x))=1 显然，如果两个多项式互素，那么它们除去琴次多项式外没有 其他的公因式，反之亦然 定理3P[x]中两个多项式f(x),g(x)互素的充分必要条 件是有P[x]中的多项式u(x),(x)使 u(x)f(x)+(x)g(x)=1 证明必要性是定理2的直接推论 现在设有(x),o(x)使 u(x)f（x)+(x)g(x)=1, 而p(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式于是(xlf(x), p(x)川g(x),从而(x)11,即f(x),g(x)互兼I 由此可以证明 定理4如果(f(x),g(x)=1,且f(x)川g(x)h6k),那么 f(x)川h(x) 证明由(f(x),g(x)=1可知，有u(x),(x)使 u(x)fx)+(x）g(x)=1 等式两边乘h(x),得 u(z)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(z)=h(x), ·16·