设 )=含ar8)=22aa)=房od 现在来证 (f(z)g(z))h(z)=f(x)(g(x)h(x)) 等式左边，f(x)g(x)中s次项的系数为 ab. 因此左边t次项的系数为 2(g4品4n 在右边，g(x)(x)中r次项的系数为 2r. 因此右边t次项的系数为 ∑a.(∑b,4）=∑a,b,c 生++= 与左边1次项的系数一样，所以左、右两边相等，这就证明了乘法 满足结合律 对于多项式的乘法，我们还可以证明 6乘法消去律： 如果f(x)g(x)=f(x)h(x)且f(x)≠0，那么 g(x)=h(x) 因为 f(z)g(x)=f(x)h(x), 有 f(x)(g(x)-h(x)=0, 而f(x)≠0，所以g(x)-h(x)=0,也就是 g(x)=h(x） 最后我们引人 定义4所有系数在数域P中的，元多项式的全体，称为数 ·74
域P上的，元多项式环，记为P[x],P称为P[x]的系数域 §3橙除的概念 这一节以及后面各节的讨论都是在某一固定的数域P上的 多项式环P[x]中进行的，以后就不每次重复说明了 在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆 运算—除法—并不是普遍可以做的因之整除就成了两个多 项式之间的一种特殊的关系 和中学中所学代数一样，作为形式表达式，也能用一个多项式 去除另一个多项式，求得商和余式例如，设 f(x)=3x3+4x2-5x+6, g(x)=x2-3x+1 我们可以按下面的格式来作除法： x2-3x+13x3+4x2-5x+63x+13 3x3-9x2+3x 13x2-8x+6 13x2-39x+13 31x-7 于是求得商为3x+13,余式为31x-7所得结果可以写成 3x3+4x2-5x+6=(3x+13)(x2-3x+1)+(31x-7) 这个求法实际上具有一般性下面就按这个想法来证明一元多项 式环的一个基本性质 带余除法对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x),其 中g(x)≠0，定有P[x]中的多项式g(x),r(x)存在，使 f(x)=q(x)g(x)+r(x） (1) 成立，其中a(r(x)<a(g(x)或者r(x)=0,并且这样的 q(x),r(x)是唯，决定的 ·8·
证明（1)中q(x)和r(t)的存在性可以由上面所说的除法 直接得出我们用归纳法的语言来叙述 如果f(x》=0,取g(x)=r(x)=0即可 以下设f(x)≠0令f(x),g(x)的次数分别为n,m对 f(x)的次数n作（第二）数学归纳法 当8<m时，显然取x)=0,r(x)=f(x小，(1)式成襄 下面讨论n≥m的情形假设当次敷尘于时g(x,r(x力 的存在记证现来看巡教为n的情形 令ax,bx”分别是f(x),g(x的首项，显然a奇g(x) 与f(x)有相同的首项，因而多项式 f,(*f（x)-练'x-“g《于入1【月 的次数小于n或为0对于后者，取m(ax”,r(女=0； 对于前者，由归销法假设，对fx),gx)有g:(x),r1(x)存在使 f(x)=q(x)g(x)+r1(x), 其中(r,x)<(g(xj或者，(x)=0于是 f八x)=(g(x)+62ax”-g(主)，(x),i 也就是说，有q(x)=g(x）+b1ax-,r(x)=户(x)使 皮立在归时达家任的以的能车 在性就证明了 下面来证唯-性设另有多项式g《云，漫1· f(x)=g'(x)g(x)+r'（x), 2 其中(r'（x)<(g(x)或者r(x)=0于是，1g会： q(x)g(x)+r(x)=q'(x)g(x)+r'(x), % (g(x)-q(x)g(x)=,2(x)-rx) 如果q(x)≠q（x),又据假设g(x)≠0，那么r'(x)-r(x)≠0， 且有 ··
a(g(x)-q(x))+a(g(x))=a(r'(x)-r(x)) 但是 3(g(x)>a(r'(x)-r(x), 所以上式不可能成立这就证明了q(x)=g'(x),因此r(x) r'(z)I 带余除法中所得的q(x)通常称为g(x)除f八x)的商，r(x) 称为g(x)除f()的余式. 定义5数域P上的多项式(x)称为鞋馨f(x),如果有数 城P上的多项式h(x)使等式 fx)=g(z)(x） 成立我们用“g(x)f(x)”表示g(x)整除f(x),用“g(x) f(x)"表示g()不能整除f() 当g(x)川f(x时，gQx)就称为f(红)的因式，∫(x)称为 g(x)的倍式 当g(x)≠0时，带余除法给出了整除性的一个判别法 定理1对于数域P上的任意两个多项式f(x),g(x),其中 g(x)≠0，g(x)f(x)的充分必要条件是g(x)除f(x).的余式 为零 证明如果r(x)=0,那么f(x)=g（x)g(x),即g(x)川 f(x) 反过来，如果g(x)川f(x),那么 f(x)=g(x)g(x)=q(x)g(x)+0, 即r(x)=01 带余除法中g(x》必须不为零但g(x)川(x)中，g(x)可以 为零这时f(x)=g(x)·五(x)±0h(x)=0 当g(x)川f(x)时，如g(x)≠0，g(x)除f(x)所得的商q(x） 有时也用 f(x) g(x) ·10·
来表示 由定义还可看出，任一个多项式f(x)一定整除它自身，即 f(x)lf(x),因为f(x)=1·f();任一个多项式f(x)都整除零 多项式0，因为0=Q·f(x);s次多项式，地就是非零常数，能整除 任一个多项式，因为当a≠0时，f(x)*a(a1f(x). 下面介绍整除性的凡个常用的性质： 如果f代x)川(t),g(x)川f(x),那么f其)牛cg(x),其中 c为非零常数 事实上，由f(x)Ig(x)有(x)h:(x)f(t),曲g(a} f(x)有f(x)=h2(x)g《x)于是 fx)=h,(x)h2《x)fx) 如果f(x)为零，那么g(x)也为零，结论显热成立如果八2)≠ 0,那么消去f(x)就有 h,(x)h2(x)=l, 从而阳(h,(x)+a(z(x)年0.由此即得 1a(h,(x)=a(h2(x)±0 这就是说h,(x》是一非零常数【 2如果f(x)引g(x),g(x)川h(x),那么f(x)月h(女整除的 传递性y显然，由 g(z)=g(z)f(x),h(x)=h(x)g(x) 即得 h(x)=(h(x)g(x))f(x)1 3如果f(x)川g(x),1=1,2,r,那么 f(x)(41(x)g1(x）+2(x)g2(x）+.+4,(x)g,(x)） 其中私，(x)是数城P上年意的多项式。 由g,(x）=h,(x)f(x),1=1,2,.,r,聊得 1(x）g(x)tu2(x）g2(x)+.+u,(x）g,(x） =(u(x)h:(x)+u2(x)hz(x）+.+u,(x）h,(x)f(x)l ·11·