质通常称为数的代数性质代数所研究的问题主要涉及数的代数 性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的 有时我们还会碰到一些其它的数的范围，为了方便起见，当我们把 这些数当作整体来考虑的时候，常称它为一个数的集合，简称数 集有些数集也具有与有理数、实数、复数的全体所共有的代数性 质为了在讨论中能够把它们统一起来，我们引人一个一般的概 念 定义1设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1如 果P中任意两个数（这两个数也可以相同）的和，差，积商（除数 不为零)仍然是P中的数，那么P就称为，个数减. 显然，全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复 数组成的集合都是数域这三个数域我们分别用字母Q、R、C来代 表全体整数组成的集合就不是数域，因为不是任意瞒不整数的商 都是整数 如果数的集合P中任意两个数作莱一避算的结果都仍在P 中，我们就说教巢户对这个运算是封闲的透此，数域的定义也可 纵说成，如果一个包含日，1准内的数巢P对芋加法，诚法、乘法与 除法（除数不为0是封闭的，那么P就称为一个数域 下面来举一些例子 例1所有具有形式 ‘a+2 的数（其中Q,6是任何有理数），构成一个数域通常用Q(W2)来 表示这个数域.显然，数集Q(W)包含0与1并且它对于抑减法是 封闭的.现在证明它对乘除法也是封闭的.我们知道 (a+62)(c+d/2)=(ac+2bd)+(ad+bc)/2 因为a,b,c,d都是有理数，所以ac+2bd,ad+c也是有理数 这就说明乘积(a+W2)(℃+dW2)还在Q(W2)内，所以Q(W2)对 于乘法是封闭的 ·2·
设a+bW2≠0，于是a-b2也不为零（为什么？），而 c+d2=(c+dw2)(a-b2) a+62 (a+bf2)(a-b/2) g器+是拾a。 四为，66，d是有理数，所以二器签电是有理数这 就证明了Q√2)对于除法的封闭性 辆2所有可以表成形式 a0十a1x++a,r” b。+的r+.+bm*网 的数组成一数域，其中n,m为任赢张负整数4，b,〔a=0,“·,n )±B,.,双)是整数脸证留给读者去做. 例3斯有毒数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、 减法不是封闭的√互的整倍数的全体成一数集，它对于加、减法是 封闭的，但对于乘除法不封闭当然，以上这两个数集都不是数城 最后我们指出数域的一个重要性质，所有的数城都包含有理 数域作为它的，部分事害上，设P是一个数城，接义局含有 1根据P对于加法的封闭性，1+1=2,2+1干3，.，点1示十 1,.全在P中，换句话说，P包含全体自然数又因0在P中，再 由P对诚法的封闭性，0一n=-n也在P中，图而P包含余体整 数任何一个有理数都可以表成两个整数的商，由P对除法的封 闭性即得上述结论 §2一元多项式 在对多项式的讨论中，我们总是以一个预先给定的数域P作 为基础设x是一个符号（或称文字），我们有 定义2设”是，非负整数形式表达式 3
anx+&n1x1+.+a0, (1) 其中a,a,a,全属于数域P,称为系数在数域P中的，元多 项式，或者简称为数域P上的一元多项式 在多项式(1)中，a,x'称为z次项，a称为？次项的系数以后 我们用f(x),g(x),··或f,g,.等来代表多项式 注意，我们这儿定义的多项式是符号或文字的形式表达式当 这符号是未知数时，它是中学所学代数中的多项式看应用精要， 这个符号还可代表其它待定事物为了能统〦研究未知数利其它 待定事物的多项式，我们才抽象地定义上述形式表达式并且还要 对它们引入运算来反映各个待定事物所满足的运算规律，统一研 究以得到它们普遍的公洪的悝质· 定义3如果在多项式a)与g(x中，除去系数为答的项 外，同次项的系散全相等，那么(x)与（上）就称为相等，记为 f代)=g(x) 系费全为零的多项式称为学多项式，记为0 在(1中如果a≠0，那公ax”称为多项武(1)的首项，a, 称为首项系数，红称为多项式心1)的次数零多项式是唯不定义 次数的多项式多项式f(x)的次数记为 ·(f(x)① 在中学所讲的代数中，两个多项式可以相加、粕诚、相乘例 如， (2x2-1)+(x3-2x2+x+2)=x3+x+1, a-f装器322，+- 我们对形式表达式(1)，可类似地引人这些运算，为便于计算 ①因为苹多项式不定义次数，所以在用符号((x)时，总是假定(x)≠0以 后就不一一说明了 ·4·
和讨论，我们常常用和号来表达多项式 设 f(x）=anx”+a,-1x-1+.+a0, g(x)=bnx”+b1x”1+.+bn 是数域P上两个多项式那么可以写成 f(x)=∑a,x, g(x》=b,x )=百 在表示多项式f(x)与g(x)的和时，如n≥m,为了方便起 见，在g(x)中令b,=b-1四.=b+1=0那么f(x)与g(x)的 和为 f(x)+g(x)=(an+bn)x°+(am-1+b1)x-1+. +(a1+b)x+(a,+b） =a,+,)x 而f(x)与g(x)的乘积为 f(z)g(x)=a.omt+(ao-1+a6m)x"m-I ++(aibo+aobi)x+aobo, 其中5次项的系数是 a,bn+a-1b1+.+a1b1+anb,=∑a,b ), 所以f(x)g(x)可表成 xae)-(2a4,2 显然，数域P上的两个多项式经过加、诚，乘等运算后，所得 结果仍然是数域P上的多项式 5
对于多项式的加减法，不摊看出 (f(x)±g(x)≤max(a(f(.x),(g(x))@ 对于多项式的乘法，可以证明，如果fx)≠0，g(x)≠0，那么 f(x)g(x）≠0，并且 a(f(x)g(x))=a(f(x))+a(g(x)) 事实上，设 f（x)=ax+an-1x-1++a0, g(x)=bmxm+6m-x++8o, 其中a,≠0，bn≠0，于是f(x)g(x)的首项是 abmctm 显然，bm≠0，因之，f(x）g(x)≠0而且它的次数就是n+m 由以上证明还看出，多项式乘积的首项系数就等于因子首项 系数的乘积 显然，上面得出的结果都可以推广到多个多项式的情形 和数的运算一样，多项式的运算也满足下面的一些规律 1加法交换律： f(x）+g(x)=g(x)+f(x) 2加法结合律： (f(x)+g(x)》+h(x)=f(x）+(g(x)+h(x) 3乘法交换律： f(x)g(x)=g(x)f(x) 4乘法结合律： (f(z)g(x))h(x)=f(x)(g(z)h(z)) 5乘法对加法的分配律： f(x)(g(z)+h(z))=f(z)g(z)+f(z)h(z) 这些规律都很容易证明下面只给出乘法结合律的证明 ⊙max(,m)代表，m中较大的一个数 ·6·