第0章几何变换概论 、对应与变换 、正交变换 注:以几何变换的观点看待欧氏几何.欧氏几何就是研究在正 交变换群M的作用下保持不变的几何量和几何性质,即所有与距 离有关的几何量和几何性质
一、对应与变换 第0章 几何变换概论 二、正交变换 注：以几何变换的观点看待欧氏几何. 欧氏几何就是研究在正 交变换群M的作用下保持不变的几何量和几何性质, 即所有与距 离有关的几何量和几何性质
第0章几何变换概论 、仿射变换 1.透视仿射变换 定义0.14.对于空间中两平面 兀,x,给定一个与两平面不平行的投 射方向,则确定了π到x的一个透视 仿射对应(平行投影) 上任一点P在x上的像即为过 P且平行于投射方向的直线与的 交点P 注1:透视仿射对应是两平面的点集之间的一个双射 透视仿射对应使共线点变为共线点,不共线点变为不共线点, 平行直线变为平行直线; 透视仿射对应保持同一直线上两线段的比值不变,从而保持两 平行线段的比值不变,但是不能保持距离不变 注2:两平面交线称为透视仿射的轴.若/z则没有轴
第0章 几何变换概论 三、仿射变换 1. 透视仿射变换 定义0.14. 对于空间中两平面 π,π', 给定一个与两平面不平行的投 射方向, 则确定了π到π'的一个透视 仿射对应(平行投影). π上任一点P在π'上的像即为过 P且平行于投射方向的直线与π'的 交点P'. 注2：两平面交线称为透视仿射的轴. 若π//π'则没有轴. 注1：透视仿射对应是两平面的点集之间的一个双射. 透视仿射对应使共线点变为共线点, 不共线点变为不共线点, 平行直线变为平行直线； 透视仿射对应保持同一直线上两线段的比值不变, 从而保持两 平行线段的比值不变, 但是不能保持距离不变
第0章几何变换概论 、仿射变换 1.透视仿射变换 定义0.14.对于空间中两平面 兀,x,如果一个双射使得对应点的连 线相互平行,则称之为到的一个 B 透视仿射对应(平行投影) 定义0.15.在平面兀上,使得对应 点的连线相互平行的点对应称为兀 上的一个透视仿射变换 注1:透视仿射变换是平面上的一个双射 透视仿射变换使共线点变为共线点,不共线点变为不共线点, 平行直线变为平行直线; 透视仿射变换保持同一直线上两线段的比值不变,从而保持两 平行线段的比值不变,但是不能保持距离不变 注2:平面上两个透视仿射变换的积未必还是透视仿射变换
第0章 几何变换概论 三、仿射变换 1. 透视仿射变换 定义0.14'. 对于空间中两平面 π,π', 如果一个双射使得对应点的连 线相互平行, 则称之为π到π'的一个 透视仿射对应(平行投影). 注1：透视仿射变换是平面上的一个双射. 透视仿射变换使共线点变为共线点, 不共线点变为不共线点, 平行直线变为平行直线； 透视仿射变换保持同一直线上两线段的比值不变, 从而保持两 平行线段的比值不变, 但是不能保持距离不变. 定义0.15. 在平面π上, 使得对应 点的连线相互平行的点对应称为π 上的一个透视仿射变换. 注2：平面上两个透视仿射变换的积未必还是透视仿射变换
第0章几何变换概论 、仿射变换 2.仿射变换 定义0.16.对于空间中一组平面兀,兀1,丌2,…,n2,设以下对应 均为透视仿射对应: 0:丌→>丌1,q1:丌1-)兀2 qn:丌n-丌 则称这n个透视仿射的积p为到的一个仿射对应若x′=x,则称 为平面x上的一个仿射变换 注:仿射变换是平面上的一个双射 仿射变换使共线点变为共线点,不共线点变为不共线点,平行 直线变为平行直线; 仿射变换保持同一直线上两线段的比值不变,从而保持两平行 线段的比值不变,但是不能保持距离不变 定理0.14(i)平面上两个仿射变换的积是一个仿射变换 (i).平面上的恒同变换是一个仿射变换; (i).任一个仿射变换的逆变换是一个仿射变换
第0章 几何变换概论 三、仿射变换 2. 仿射变换 定义0.16. 对于空间中一组平面π, π1 , π2 , …, π n , π' , 设以下对应 均为透视仿射对应： : , : , ..., : ' 0 →1 1 1 → 2 n n → 则称这n个透视仿射的积φ为π到π'的一个仿射对应. 若π' =π, 则称φ 为平面π上的一个仿射变换. 注：仿射变换是平面上的一个双射. 仿射变换使共线点变为共线点, 不共线点变为不共线点, 平行 直线变为平行直线； 仿射变换保持同一直线上两线段的比值不变, 从而保持两平行 线段的比值不变, 但是不能保持距离不变. 定理0.14 (i). 平面上两个仿射变换的积是一个仿射变换； (ii). 平面上的恒同变换是一个仿射变换； (iii). 任一个仿射变换的逆变换是一个仿射变换
第0章几何变换概论 、仿射变换 2.仿射变换 定义0.17.设P1,P2,P为平面上共线三点,记(P1P2P)表示这三点 构成的一个简单比(单比,仿射比,定义为 PP (PPP) (0.6) PP 注:(P1P2P)表示一个数,是有向线段P1P与P2P的比值,与解几 中的定比分点反号 定理0.15仿射变换保持共线三点的简单比不变 定义0.17.设为平面x上的一个双射,满足 (i).@使得平行直线变为平行直线 (i).g保持共线三点的简单比不变 则称o为平面上的一个仿射变换
第0章 几何变换概论 三、仿射变换 2. 仿射变换 定义0.17. 设P1 , P2 , P为平面上共线三点, 记(P1P2P)表示这三点 构成的一个简单比(单比, 仿射比), 定义为 ( ) . (0.6) 2 1 1 2 P P PP PP P = 注： (P1P2P)表示一个数, 是有向线段P1P与P2P的比值, 与解几 中的定比分点反号. 定理0.15 仿射变换保持共线三点的简单比不变. 定义0.17'. 设φ为平面π上的一个双射, 满足 (i). φ使得平行直线变为平行直线; (ii). φ保持共线三点的简单比不变 则称φ为平面上π的一个仿射变换