例4.5的程序pla405 ·设有三个四维向量V1=[7;4;-2;9];V2=[4;5；-1;7]; v3=[9;4;4;-7],求它们的单位基向量v01,v02,v03, 并分别求它们之间的夹角。 ·解：阶数较高的题目，应当用计算机编程求解。 程序pla405如下： %输入参数 V1=[7;4;2;9];V2=[-4;5;1;7]:v3=[9;4;4;7] v10=v1/norm(v1),v20=v2/norm(v2), v30=v3/norm(3),%求单位向量 theta12=acos(v10'*v20),%求向量v1,v2间的夹角 theta13=acos(v20*v30),theta23=acos(v30*v10)
例4.5的程序pla405 • 设有三个四维向量v1=[7;-4;-2;9]; v2=[-4;5;-1;-7]; v3=[9;4;4;-7]，求它们的单位基向量v01,v02,v03， 并分别求它们之间的夹角。 • 解：阶数较高的题目，应当用计算机编程求解。 程序pla405如下： % 输入参数 v1=[7;-4;-2;9]; v2=[-4;5;-1;-7]; v3=[9;4;4;-7]; v10=v1/norm(v1), v20=v2/norm(v2), v30=v3/norm(v3), % 求单位向量 theta12=acos(v10'*v20), % 求向量v1,v2间的夹角 theta13=acos(v20'*v30), theta23= acos(v30'*v10)
从三维向量向n维的抽象 这个例题涉及到四维空间中的向量以及它们之间 的夹角，这是常人从来不会遇到因而也无法想象 的。，这是线性代数中的抽象，而且这种抽象也在 新技术发展中起到了重要的作用。 。 比如在现代文献检索中，需要对被搜索的文献进 行分类，如果我们只取文献的三个特性作为定量 指标，那么就可以画出一个三维向量，可以选某 一个向量为标准，把与它夹角小于某个角度（比 如30°)的向量都归为二类。但实际上只取三个 特性是太少了，往往需要用几十、几百个特性来 分类，那就必须要用几十、几百维的向量空间来 作为聚类的标准，空间的夹角也就有了超越几何 夹角的内涵，但首先要弄清欧几里德空间的向量
从三维向量向n维的抽象 • 这个例题涉及到四维空间中的向量以及它们之间 的夹角，这是常人从来不会遇到因而也无法想象 的。这是线性代数中的抽象，而且这种抽象也在 新技术发展中起到了重要的作用。 • 比如在现代文献检索中，需要对被搜索的文献进 行分类，如果我们只取文献的三个特性作为定量 指标，那么就可以画出一个三维向量，可以选某 一个向量为标准，把与它夹角小于某个角度（比 如30°）的向量都归为一类。但实际上只取三个 特性是太少了，往往需要用几十、几百个特性来 分类，那就必须要用几十、几百维的向量空间来 作为聚类的标准，空间的夹角也就有了超越几何 夹角的内涵，但首先要弄清欧几里德空间的向量
4.2.4向量积及其应用 01 向量积的定义：向量积也称为叉乘(cross product),两向 量u,V的向量积uXV是一个新向量z,它与u,V正交，按右 手法测确定它的方向，即令右手食指沿u,弯曲的中指指V, 则拇指指向z的方向。其几何长度为： =uxy=u vsine (4.2.6) ● z的几何意义如图，若向量u长为u!是平行四边形的底， 向量v长为y,则h=v]sin0 是它的高，所以z是此 平行四边形的面积。 根据例3.2的推导，这个平行四 边形面积等于uV2-2Y1,因此 ☑=4y2-%，其方向则按 照右手法则确定
4.2.4 向量积及其应用 • 向量积的定义：向量积也称为叉乘(cross product)，两向 量u, v的向量积u×v是一个新向量z，它与u, v正交，按右 手法则确定它的方向，即令右手食指沿u，弯曲的中指指v， 则拇指指向z的方向。其几何长度为： • （4.2.6） • 的几何意义如图，若向量u长为 ，是平行四边形的底， 向量v长为 ，则 是它的高，所以 是此 平行四边形的面积。 z u v u v = = sin z u v h = v sin z 根据例3.2的推导，这个平行四 边形面积等于u1 v2 -u2 v1，因此 ，其方向则按 照右手法则确定。 1 2 2 1 z = − u v u v
三维空间两向量的向量积 由此外推，对于三维空间的向量u和V,向量积如下： 41 2y3-山V2 U= u ,V= ,u×V= 43y-4V'3 (4.2.7) L43 3 4V2-42」 ·这个公式全面地反映了向量的几何长度和方向，平面向 量可以看作它的特例。 两个向量先做叉乘，再与第三个向量点乘，得到的称为 这三个向量的混合积，它是一个标量。 42y3-4y2 V=w(u×v)=w.z=[ww2w] 44-4y3 uv2-4v
三维空间两向量的向量积 • 由此外推，对于三维空间的向量u和v，向量积如下： （4.2.7） • 这个公式全面地反映了向量的几何长度和方向，平面向 量可以看作它的特例。 两个向量先做叉乘，再与第三个向量w点乘，得到的称为 这三个向量的混合积，它是一个标量。 1 1 2 3 3 2 2 2 3 1 1 3 3 3 1 2 2 1 , , u v u v u v u v u v u v u v u v u v − = = = − − u v u v 2 3 3 2 1 2 3 3 1 1 3 1 2 2 1 ( ) u v u v V w w w u v u v u v u v − = = = − − T w u v w z
三个向量的混合积及几何意义 V=w(u2Y3-4y2)+w2(4y-43)+w3(u1y2-2y) 右图表示了它的几何意义。为它们 两者组成的平行四边形面积z,其方 向与u,V组成的平面垂直。就是用w 在z方向的投影（即高）乘以底面积， 得出的是这个平行六面体的体积。 将(4.2.7)式与(3.1.6)式对比， 可以看出，把w,u,V看作三个列向量，V就是由它们组 成的方阵的行列式D=det(w,u,)。三阶行列式的几何 意义为三向量构成的平行六面体体积也由此得证
三个向量的混合积及几何意义 1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1 V w u v u v w u v u v w u v u v = − + − + − ( ) ( ) ( ) 右图表示了它的几何意义。为它们 两者组成的平行四边形面积z，其方 向与u, v组成的平面垂直。就是用w 在z方向的投影（即高）乘以底面积， 得出的是这个平行六面体的体积。 将(4.2.7)式与(3.1.6)式对比， 可以看出，把w,u,v看作三个列向量，V就是由它们组 成的方阵的行列式D=det([w,u,v])。三阶行列式的几何 意义为三向量构成的平行六面体体积也由此得证