绘制平面向量的程序 也可以用程序pla401来画，得到的 图形见右图。图中也给出了： U-V u+v= 4-y 42-y2 程序pla401的核心语句为： u=[2;4],V=[3;-1] drawvec(u),hold on drawvec(v,'b'),hold on -3-2-1 2345 drawvec(u+v,'g'),hold on drawvec(u-v,'m'),hold off grid on
绘制平面向量的程序 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x y u-v u+v u v u-v 也可以用程序pla401来画，得到的 图形见右图。图中也给出了： 程序pla401的核心语句为： u=[2;4],v=[3;-1] drawvec(u),hold on drawvec(v,'b'),hold on drawvec(u+v,'g'),hold on drawvec(u-v,'m'),hold off grid on 1 1 1 1 2 2 2 2 u v u v u v u v + − = − = + − u + v u v
向量的加减 ·几何向量的加减按平行四边形法则进行，它在笛卡儿坐标 中的分量则满足简单的代数加减法。对于如图所示的平面 上的二维向量，写成代数形式，为： u+v= 4+y W-Y= 4-y u2+y2 2-y2 向量的线性组合：设c,d为任意数（标量），则表示了向 量u,v的任意线性组合。取例题4.1中的u和V,得到： 。 在图4-2中也画出了c=1和d=-1时的这两个合成向量。不 管c,d取什么值，合成向量b一定是处在x-y平面上；具有 这种性质向量b的全体称为一个二维的向量空间
向量的加减 • 几何向量的加减按平行四边形法则进行，它在笛卡儿坐标 中的分量则满足简单的代数加减法。对于如图所示的平面 上的二维向量，写成代数形式，为： • 向量的线性组合：设c,d为任意数（标量），则表示了向 量u,v的任意线性组合。取例题4.1中的u和v，得到： • 在图4-２中也画出了c=1和d=-1时的这两个合成向量。不 管c,d取什么值，合成向量b一定是处在x-y平面上；具有 这种性质向量b的全体称为一个二维的向量空间。 1 1 1 1 2 2 2 2 u v u v u v u v + − = − = + − u + v u v ， 2 3 2 3 4 1 4 c d c d c d c d + = = + = − − b u + v 1 2 b = ， b
三维空间的向量加减 ·对于空间向量，用下标1,2,3分别表示笛卡儿坐标xy,z方 向的分量，可类似地推得： 4 4+y [4-v 。若= ,V= 则 u+v= u2+V2 ,u-V= 42-V2 V3 L私+」 4-3 例4.2设列向量u=[1;-2;2],V=[-2;3;-1],求u+V,u-V, 1 2 解：写成列向量： W= 2 ,V= 2 -1 「3 「-1 wl=u+v= -1 w2=u-v- -3 1 1. 3
三维空间的向量加减 • 对于空间向量，用下标1,2,3分别表示笛卡儿坐标x,y,z方 向的分量，可类似地推得： • 若 则 。 • 例4.2 设列向量u=[1;-2;2], v=[-2;3;-1]，求u+v,u-v， 解：写成列向量： 1 1 2 2 3 3 , , u v u v u v = = u v 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 u v u v u v u v u v u v + − = + − = − + − u + v u v ， 1 2 -2 , 1 , 2 1 = = − u v 3 -1 1 = = w1 u + v -1 -3 3 = − = w2 u v 0 1 2 3 -1 0 1 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 u+v u(1,-2,2) v(2,1,-1) u-v
三维空间中的两维向量空间 我们希望读者在学习线性代数时，把三维向量的 矩阵表达式与它们的在三维空间的形状结合起来 ,所以给出了向量uV,w1,w2的立体图。读者可 以自己在草稿纸上练习。 要注意图中u,V两个向量在三维空间组成一个平面 ,它们的合成向量w1,w2必定也在这个平面上， 这在几何上可以想象，但图示就不易看清。，在本 书的程序集中，收藏了它的三维图形，文件名是 fpla403.fig,读者可以在MATLAB命令或☒形窗中 调出这个文件，然后点击其三维旋转按钮，将能 观察到空间向量u,V,w1,w2都处在一个平面上。 也可以说这个平面是，一个二维向量空间，向量 u,V,w1,w2处在同一个向量空间币
三维空间中的两维向量空间 • 我们希望读者在学习线性代数时，把三维向量的 矩阵表达式与它们的在三维空间的形状结合起来 ，所以给出了向量u,v,w1,w2的立体图。读者可 以自己在草稿纸上练习。 • 要注意图中u,v两个向量在三维空间组成一个平面 ，它们的合成向量w1,w2必定也在这个平面上， 这在几何上可以想象，但图示就不易看清。在本 书的程序集中，收藏了它的三维图形，文件名是 fpla403.fig，读者可以在MATLAB命令或图形窗中 调出这个文件，然后点击其三维旋转按钮，将能 观察到空间向量u,v,w1,w2都处在一个平面上。 也可以说这个平面是一个二维向量空间，向量 u,v,w1,w2处在同一个向量空间中
4.2.2向量的几何长度和方向余弦 (0.0,3)5 (0,2) 1(1.2】 /1,2.3) ++喝 5=12+22 14=12+22+32 (0.2,0 (1.0 (1.0.0) (1,2.0) 向量几何长度的符号为，在直角坐标系中，几何长度 为它的各个分量的平方和的开方。图4-4表示二维向量(1,2) 的几何长度为=√+2)=5，三维向量(1,2,3)的几何 长度为√P+22+32)=√4。 ·线性代数中常常把向量中所包含的元素数称为长度，二维 向量的长度为2，三维向量的长度为3。MATLAB中用 length命令求向量的元素数，而用norm(译为“范数”) 命令来求几何长度，读者要注意避免把这两者相混淆
4.2.2 向量的几何长度和方向余弦 • 向量几何长度的符号为 ，在直角坐标系中，几何长度 为它的各个分量的平方和的开方。图4-4表示二维向量(1,2) 的几何长度为 ，三维向量(1,2,3)的几何 长度为 。 • 线性代数中常常把向量中所包含的元素数称为长度，二维 向量的长度为2，三维向量的长度为3。MATLAB中用 length命令求向量的元素数，而用norm（译为“范数”） 命令来求几何长度，读者要注意避免把这两者相混淆。 v 2 2 v = + = (1 2 ) 5 2 2 2 (1 2 3 ) 14 + + =