设a=x1i+y1j+x1k,B=x2i+y2j+z2k∈R3 ①从(a,i)=X,(a,j)=y1,(a,k)=z1 aa=(a, ii+(a,jj+(a, kk ②(a,B)=x1x2+y2+x1z2 ③|a=√x2+y12+x ④<c,B> arccos x1x2+yy2+12 2 ,+ 2 2 即在基i下,R中的与内积有关的度量性质有 简单的表达形式
6 设 3 1 1 1 2 2 2 = + + = + + x i y j z k x i y j z k R , ① 从 1 1 1 ( , ) , ( , ) , ( , ) i x j y k z = = = ② 1 2 1 2 1 2 ( , ) = + + x x y y z z ③ 2 2 2 1 1 1 | | = + + x y z 得 = + + ( , ) ( , ) ( , ) i i j j k k ④ 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 , arccos x x y y z z x y z x y z + + = + + + + 即在基 i j k , , 下， R 3 中的与内积有关的度量性质有 简单的表达形式
2.标准正交基的定义 n维欧氏空间中,由个向量构成的正交向量组 称为正交基; 由单位向量构成的正交基称为标准正交基 注: ①由正交基的每个向量单位化,可得到一组标准 正交基
7 n 维欧氏空间中，由 n 个向量构成的正交向量组 称为正交基； 2. 标准正交基的定义 由单位向量构成的正交基称为标准正交基. 注： ① 由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准 正交基
②n维欧氏空间V中的一组基61,…,6n为标准正交基 e→(a,)-11,=2,…,n ③n维欧氏空间V中的一组基1,…,n为标准正交基 当且仅当其度量矩阵A=(s,)=En ④M维欧氏空间V中标准正交基的作用: 设1,…,En为V的一组标准正交基,则
8 ② n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基 ③ n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基 当且仅当其度量矩阵 A E = = (( , ) . i j n ) 1 ( , ) , 1,2, , i j 0 i j i j n i j = = = ， (1) ④ n 维欧氏空间V中标准正交基的作用: 设 1 , , n 为V的一组标准正交基，则