推论2:任意m个n维向量线性无关的充要条件是由它们 构成的矩阵A=Ann的秩r()=m 推论3:任意n个n维向量线性无关的充要条件是由它们 构成的方阵A的行列式不等于零。或r(4)=n 推论4:任意n个n维向量线性相关的充要条件是由它们 构成的方阵A的行列式等于零。或)<n 定理5:若m个r维向量 1,0li2 线性无关,则对应的m个r+1维向量 B1=(a1,12,…,an2a1r+1)(i=1,2,…,m) 也线性无关 用语言叙述为: 线性无关的向量,添加分量后仍旧线性无关。 推论:r维线性无关的向量,添加nr个相应分量组成的n 维向量仍旧线性无关
推论2：任意 m 个 n 维向量线性无关的充要条件是由它们 构成的矩阵A= A ×nm 的秩r(A)=m。 推论3：任意 n 个 n 维向量线性无关的充要条件是由它们 构 成的方阵 A的行列式不等于零。或r(A)=n. 推论4：任意 n 个 n 维向量线性相关的充要条件是由它们 构 成的方阵 A的行列式等于零。或r(A)<n. 定理5：若 m 个 r 维向量 线性无关，则对应的 m 个r+1 维向量 也线性无关。 ),,2,1(),,,( 21 miaaa α = L iriii = L ),,2,1(),,,,( β = 21 L riiriii +1, = L miaaaa 用语言叙述为： 线性无关的向量，添加分量后仍旧线性无关。 推论：r 维线性无关的向量，添加 n-r 个相应分量组成的n 维向量仍旧线性无关
证明 12 A 2 21 22 2 C心(d1 aml am2 12 r+1 22 a2r r+ B 2 m2 mr+ →m=r(A)≤r(B)≤m→r(B)=m 尻,B2,…,Bn线性无关
证明： ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = mm mr r r m aaa aaa aaa A L MLMM L L M 21 2221 2 1211 1 2 1 α α α ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + + + 21 1, 2221 1,22 1211 1,11 2 1 mm rmmr rr rr m aaaa aaaa aaaa B L MMLMM L L M β β β =⇒ ≤ )()( ≤ mBrArm ⇒ )( = mBr ∴ β β 21 L ,,, β m线性无关