这里假设函数f(x,)关于x与中有连续的偏导数.基本解法: dx 设p=,则原方程化为y=f(x,D,两端关于x求导并用P=代入 得到 f,中 P ↓and ax ap 或 P-(xp)x-(x,p冲=0 此为一阶关于x、p的正规形方程.于是可用前面的方法求解
如果所求得的通解为P=x,,则原方程的通解为: y=f(x, o(a, C)); 如果所求得的通解为x=(,,则原方程的通解为参数形式通 解: x=y(r, C) Ly=f(y(p, C), p) ,其中p为参数,C为任意常数 如果所求得的通解为甙xP,=0,则原方程的通解为参数形式通 解:xB=0 ,其中p为参数,C为任意常数 y=f(r, p)
附注1:在参数形式通解中的参数p,通常用t来替代,一方面这是习 惯所至,另一方面,这也可表明在通解中的p只起参数作用,而不再 中 表示=y了 附注2:在求的通解后,比如P=0,,不应把通解中的p看成中, dx 即=0x○,并进而两边关于积分,得到y-xa+C·我们 dx 可这样去理解,因为y=f(x,y)是一阶方程,通解中只有一个任意常 数,而y=」以x+c中有两个相互独立的任意常数c与c,这显然 是不对的