由于:MOM= OMolJOM cos 所以 CoSy no t) y X t 0U元 + y 所以,在极坐标系下,有: COS y=cOS(0-0) 从而,在极坐标下,圆域上泊松方程狄氏解为 R v(M)=2n(O) R-2Rro cos(0-0)+.2do-Gf(r,e)rdrde 在极坐标下,圆域上拉氏方程狄氏解为: l(M0) 2r Jo p(e R2-2 Rr cos(6-6)+
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 11 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 cos x x y y x y x y x y x y = + + + + + 所以： 由于： OM OM OM OM 0 0 = cos 所以，在极坐标系下，有： 0 cos cos( ) = − 2 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( , ) 2 2 cos( ) D R r u M d Gf r rdrd R Rr r − = − − − + 从而，在极坐标下，圆域上泊松方程狄氏解为： 在极坐标下，圆域上拉氏方程狄氏解为： 2 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 1 ( ) ( ) 2 2 cos( ) R r u M d R Rr r − = − − +
例4、求圆域上拉氏方程狄氏解。 △ut=0.r≤1 v(1,0)=0(O (1)、0()=acos 2)、q()=b+acos 解法1:(格林函数法) 选极坐标系,设圆内Mr0,0,则: R xJ(0) de 2 R2-2RcoS(6-6)+ a e de 2n01-2rcos(0-(0)+而
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 12 例4、求圆域上拉氏方程狄氏解。 (1)、 解法1:(格林函数法) 0, 1 (1, ) ( ) u r u = = ( ) cos = a (2)、 ( ) cos = +b a 选极坐标系，设圆内M0 (r0 ,θ0 ),则： 2 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 1 ( ) ( ) 2 2 cos( ) R r u M d R Rr r − = − − + 2 2 0 2 0 0 0 0 1 cos * 2 1 2 cos( ) r a d r r − = − − +