电子科技大学：《数理方程与特殊函数》第六章 格林函数法（6.4）平面特殊区域狄氏格林函数

拉氏方程狄氏解为: + l(M0) -dx (x-x0)2+y 例2、求上半平面上拉氏方程狄氏解,边界条件为 O3x<0 u(x,o)= Lln2x≥0 解:由公式: +∞ (M0)= o(x) (x-x0)2+y +∞O 0 x-x 0

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 拉氏方程狄氏解为： 例2、求上半平面上拉氏方程狄氏解，边界条件为： 解：由公式： 0 0, 0 ( ,0) , 0 x u x u x   =    0 0 2 2 0 0 1 ( ) ( ) ( ) y u M x dx x x y   + − = − +  0 0 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) y u M x dx x x y y u dx x x y    + − + = − + = − +  

u 0 d-d +∞ dx +1 ∞ uo arctan 0 y uo arctan 0 +arctan I2

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 0 0 2 2 0 0 0 1 ( ) u y dx  x x y + = − +  0 0 0 2 0 2 0 0 1 1 ( ) 1 u y dx x x y y  + =   −   +    0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 1 ( ) ( ) 1 y x x u y d x x y y y  + − =   −   +    0 0 0 0 1 arctan x x u  y +   − =     0 0 0 0 1 arctan x x u  y +   − =     0 0 0 arctan 2 u x y     = +    

(二)、圆域上狄氏问题的 Green函数 圆域上狄氏问题 Green函数满足的定解问题为 ∫△G=-5(M,M0) M,Mo∈D(x2+y2≤R2) 分析:圆域上狄氏问题Gre函数G(M,M)相当于圆内M处放置电 量为e0的正点电荷,而圆周接地的电势。 其中:DM=回M=园M==(刷

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 0 2 2 2 0 ( , ) , ( ) L 0 G M M M M D x y R G   = −   +   =  (二)、圆域上狄氏问题的Green函数 圆域上狄氏问题Green函数满足的定解问题为 分析：圆域上狄氏问题Green函数G(M,M0 )相当于圆内M0处放置电 量为ε0的正点电荷，而圆周接地的电势。 M M0 O M1 其中： OM r = OM r 1 1 = OM r 0 0 = 0  = ( , ) r r

延长OM至M1,使r1=R2/ro 在M处置一电荷密度为E0的无限长细杆,M处置一电荷密度 为-ε0的无限长细杆,两线在M处产生的平面电势为 MMI n n 2丌TMo 2丌r MM 2丌 MoM 但是: h MMy I R n 2丌FM0M L 2丌 所以,格林函数应该为: G(M,M0)=n1 PMMI R n n 2丌 MoM 2丌M MMI 2丌 MoM 2

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 延长OM0至M1,使r1=R2/r0. 但是： 1 0 1 0 1 1 1 1 1 ln ln ln 2 2 2 MM M M MM M M r    r r r − = 在M0处置一电荷密度为ε0的无限长细杆，M1处置一电荷密度 为-ε0的无限长细杆，两线在M处产生的平面电势为: 1 0 0 1 1 ln ln 2 2 MM L M M r R   r r = 所以，格林函数应该为： 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 ( , ) ln ln ln ln 2 2 2 2 MM M M MM M M r R G M M     r r r r = − = −

例3、求圆域上泊松与拉氏方程狄氏解。 解:m(M)=-手 OG O ds-jGf( 因为:G1C OI 所以: OGOG ar R R 2TRR-2Rro cos y +ro 所以,狄氏解为 R Ju(mo)= y 2TR R2-2 Rro cosy +l cs Gf(, y)do

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 解： L R G G n r   =   因为： 2 2 0 2 2 0 0 1 2 2 cos R r R R Rr r  − = − − + 例3、求圆域上泊松与拉氏方程狄氏解。 0 ( ) ( , ) L D G u M dS Gf x y d n    = − −    所以： L R G G n r   =   2 2 0 0 2 2 0 0 1 ( ) ( , ) 2 2 cos L D R r u M dS Gf x y d R R Rr r     − = − − +   所以，狄氏解为：