n称P(f;a,b)= E(f(x,)-f(x-1))i=1为,(x)对分点组T的正变差n称N(f;a,b) = Z(f(x,)-f(xi-1))i=1为,(x)对分点组T的负变差其中 :==(lr|+r)，r_:=(lr|-r).22
为 f(x) 对分点组T的负变差. − − = ( ; , ) = ( ( ) − ( )) 1 1 T i i n i 称N f a b f x f x 为 f(x) 对分点组T的正变差. − + = ( ; , ) = ( ( ) − ( )) 1 1 T i i n i 称P f a b f x f x 1 1 : 2 2 其中 r := (|r|+r), r (|r|-r). + − =
称 Vb(f)= sup(Vi(f;a,b): T},Pb(f) = sup{P(f;a,b): T),N,(f) = sup(Nr(f;a,b): T)分别为f(x)在[a,bl上的全变差、正变差和负变差b若V(f)<+oo，则称f(x)为[a,b]上a的有界变差函数(f eBV[a,b] )
T T T ( ) sup{ ( ; , ) : T}, ( ) sup{ ( ; , ) : T}, ( ) sup{ ( ; , ) : T} ( ) [ , ] b a b a b a V f V f a b P f P f a b N f N f a b f x a b = = = 分别为 在 上的全 变差、正变差和负变差. ( ) ( ) [ , ] [ , ] b a V f f x a f B b b V a + 若 ，则称 为 上 的有界变差函数 ( ). 称
例2.1.闭区间上的单调函数一定是有界变差函数V分划P,bnV(f,P)= 2If(x,)- f(xi-1)/=l f(b)- f(a)Ii=1ab所以, V(f)= f(b)-f(a)la
例2.1. 闭区间上的单调函数一定是有 界变差函数 [ ] V( ) | ( ) ( ) |. b a 所以， f f b f a = − 1 1 V( , ) | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | . b n i i a i P f P f x f x f b f a − = = − = − 分划