第四节一阶线性微分方程
第四节 一阶线性微分方程
2X-3+x=&(x)fix1、线性方程dx2Ax=01、一阶线性微分方程的标准形式：A= Ax=b+ P(x)= Q(x)+ pa -当Q(x)=0，上方程称为齐次的ytoxC当Q(x)丰0，上方程称为非齐次的→ dy=-tanxdxP=-Sint, Q=tQ=x2Prildydx例如=xsint+t2，线性的;V+JdtdxX=xSintM-4非线性的。yy'- 2xy = 3,y'-cos y =1
P(x) y Q(x) dx dy + = 1、一阶线性微分方程的标准形式: 当Q(x) 0, 上方程称为齐次的. 当Q(x) 0, 上方程称为非齐次的. 一、线性方程 例如 , 2 y x dx dy = + sin , 2 x t t dt dx = + yy − 2xy = 3, y − cos y = 1, 线性的; 非线性的
2、一阶线性微分方程的解法dy+ P(x)y = 0.(1).线性齐次方程Spidxdxg=ux). e(使用分离变量法）(x)dy =-P(x)dx,dyS-{ P(x)dx,y常奴不含毫常敌In y = -{ P(x)dx + InC,P(x)dx齐次方程的通解为yC
+ P(x) y = 0. dx dy P(x)dx, y dy = − ( ) , = − P x dx y dy ln y = − P(x)dx + lnC, 齐次方程的通解为 . ( ) = − P x dx y Ce (1). 线性齐次方程 2、一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法)
dy+ P(x)y = Q(x).(2).线性非齐次方程dxQ(x)dy- P(x)讨论dx.1VQ(x)dx - { P(x)dx,两边积分lnyg(x)设dx为v(x), :. Inlyl = v(x)-[ P(x)dx,y即 y=e"(x)e-[P(x)dx。 非齐方程通解形式与齐方程通解相比:C→u(x)
(2). 线性非齐次方程 P(x) y Q(x). dx dy + = 讨论 ( ) , ( ) P x dx y Q x y dy = − 两边积分 ( ) , ( ) ln = dx − P x dx y Q x y ( ), ( ) dx v x y Q x 设 为 ln ( ) ( ) , y = v x − P x dx . ( ) − ( ) = v x P x dx 即 y e e 非齐方程通解形式 与齐方程通解相比: C u(x)
+pix) 4= (Qr)3、常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法-S pixdx茶小盛轻行u:全质米细教的花换y=u(x)-e- u(x) +fpidx新未知函数(x)原末知函数以(x)三Q()p+psu.e-ueU-Spxdx(x)dxJprx)dx作变焕eu(aeQ(x) eV=dxdxpx dxP(x)dxxeP(x)dxdxt QPIXxu()+u(x)((dteSpxdxAdα9=C+Qix)eSpxdx二-SpwdxS plxdxceedx+Qe
3、常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 新未知函数 u(x) 原未知函数 y(x), 作变换 = − P x dx y u x e ( ) ( ) ( ) ( )[ ( )] , ( ) ( ) + − = − P x d x P x d x y u x e u x P x e