抽象代数 - 素域

二、素域定义15.4：一个没有真子域的域称为素域设p为素数,则Z,是素域域F的特征数定理14.5：任何整环的特征数或为素数或为0。域是整环，其特征数或为0或为素数

▪ 二、素域 ▪ 定义15.4：一个没有真子域的域称为素域。 ▪ 设p为素数,则Zp是素域. ▪ 域F的特征数 ▪ 定理14.5:任何整环的特征数或为素数或 为0。 ▪ 域是整环,其特征数或为0或为素数

定理15.4：设[F;+,*1为域,则[F;+]中的非零元同阶。证明：设F的单位元为e1.特征数非零，设charF=p,则p是素数因此对任意aeF*,有pa=0,且p是使la=0的最小正整数（定理14.5：设p为有单位元环R的特征数，则：(1)任aeR,有pa=0，而且，当R是整环时，对任何a+0,p是使pa=0的最小正整数）2.特征数为零，则F的单位元e关于+的阶无限对任意aeF*要证明a的阶也是无限

▪ 定理15.4：设[F;+,*]为域,则[F;+]中的非零 元同阶。 ▪ 证明:设F的单位元为e ▪ 1.特征数非零,设charF=p,则p是素数. ▪ 因此对任意aF* ,有pa=0,且p是使la=0的最 小正整数. (定理14.5：设p为有单位元环R的特征数, 则: (1)任aR,有pa=0，而且，当R是整环时，对任何a0,p是使 pa=0的最小正整数) 2.特征数为零,则F的单位元e关于+的阶无限 对任意aF* ,要证明a的阶也是无限

现在考虑域F与它的扩域K.它们的特征数有何联系注意到K和F的单位元是同一个e由定理15.4.在K中e的阶是charK在F中e的阶是charF因此charK=charF推论15.1：当K为F的扩域时，charKcharF

▪ 现在考虑域F与它的扩域K,它们的特征数 有何联系. ▪ 注意到K和F的单位元是同一个e, ▪ 由定理15.4,在K中e的阶是charK, ▪ 在F中e的阶是charF, ▪ 因此charK= charF ▪ 推论1 5 .1：当K为F的扩域时, charK= charF

定理15.5：F为域，则必包含一个素子域△且：(1)charF=0时,△Q(2)charF=p时,△≤Z证明:(1) charF=0构造集合△=((ne)*(me)-1|m,neZ,m+0)因为(ne)*(me)-leF,因此△cF.下面证明是域，且无真子域(2)charF=p,构造集合△={0,e,...(p-1)e)显然△CF.同样要证明是域，且无真子域

▪ 定理15.5：F为域,则必包含一个素子域, 且: ▪ (1)charF=0时, ≌Q ▪ (2)charF=p时, ≌Zp ▪ 证明:(1) charF=0 ▪ 构造集合={(ne)*(me)-1 |m,nZ,m0} ▪ 因为(ne)*(me)-1F,因此F. ▪ 下面证明是域,且无真子域. ▪ (2) charF=p ,构造集合={0,e,,(p-1)e} ▪ 显然F. ▪ 同样要证明是域,且无真子域

S2代数元与根域一、代数元与超越元1.代数元与超越元定义15.5：K为域F的扩域，αEK如果有f(x)eF[使得(α)=0,则称α为域F的代数元，否则就是F的超越元。所谓代数元实际上就是域上某个多项式的根例：5,V3,i7+3都是有理数域上的代数

§2 代数元与根域 ▪ 一、代数元与超越元 ▪ 1.代数元与超越元 ▪ 定义15.5：K为域F的扩域,K,如果有 f(x)F[x]使得f()=0,则称为域F的代数 元,否则就是F的超越元。 ▪ 所谓代数元实际上就是域上某个多项式 的根 例:5, 3,i, 7 3都是有理数域上的代数元 . n +