图20.1-4中，点A，A'是对称点，设AA'交对称轴MN于点P，将△ABC或△ABC沿MN折叠后，点A与A'重合：于是有AP=PA'./MPA=/MPA-90°对于其他的对应点，如点B与B，点C与C'也有类似的情况.因此，对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段经过线段中点并且垂直于这条线段的直线：叫做这条线段的垂直平分线（perpendicularbisec-tor).这样，我们就得到图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称：那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，例如图20.1-5中，1图20.1-5垂直平分AA，1垂直平分BB.练习1.如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴，→1T(1)(2)(3)(4)(5)(第1题2.如图所示的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，指出它们的对称轴，并找出一对对称点.文囍喜FFF(1)(2)(3)（第2题）4第二十章轴对称
书 !"#$%&'( 图２０．１４中，点犃，犃′是对称点，设犃犃′交对称轴犕犖 于点犘，将 △犃犅犆或△犃′犅′犆′沿犕犖 折叠后，点犃与犃′重合．于是有 犃犘＝犘犃′，∠犕犘犃＝∠犕犘犃′＝９０°． 对于其他的对应点，如点犅与犅′，点犆与犆′也有类似的情况．因此，对 称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段． 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线， 叫做这条线段的垂直平分线 （ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒｂｉｓｅｃ ｔｏｒ）．这样，我们就得到图形轴对称的性质： B B A A l 图２０．１５ 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称 轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对 应点所连线段的垂直平分线．例如图２０．１５中，犾 垂直平分犃犃′，犾垂直平分犅犅′． （１） （２） （３） （４） （５） （第１题） （１） （２） （３） （第２题） １．如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴． ２．如图所示的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，指出它们的对称轴， 并找出一对对称点． ４
20. 1.2线段的垂直平分线的性质探究如图20.1-6，直线1垂直平分线段AB，P1，Pz，P3，是1上的点，分别量一量点P1，P2,P3，到点A与点B的距离，你有什么发现？图20.1-6可以发现，点P1，P2，P3，到点A的距离与它们到点B的距离分别相等如果把线段AB沿直线I对折：线段PA与PB、线段P2A与PB、线段P3A与P,B....都是重合的，因此它们也分别相等由此我们可以得出线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等利用判定两个三角形全等的方法，也可以证明这个性质如图20.1-7，直线1上AB，垂足为C，AC=CB，点P在1上.求证PA=PB.证明：：IIAB,.:ZPCA=/PCB.又 AC=CB, PC=PC,:.△PCA△PCB (SAS)...PA=PB.图20.1-7反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？通过证明可以得到：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂你能证明这个直平分线上结论吗？从上面两个结论可以看出：在线段AB的垂直平分线I上的点与A，B的距离都相等；反过来与A，B的距离相等的点都在1上，所以直线「可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合5第二十章轴对称
!"#$%&'( ２０．１．２ 线段的垂直平分线的性质 P3 B P1 P2 A l 图２０．１６ 如图２０．１６，直线犾垂直平分线段犃犅，犘１， 犘２，犘３，.是犾上的点，分别量一量点犘１，犘２， 犘３，.到点犃与点犅的距离，你有什么发现？ 可以发现，点犘１，犘２，犘３，.到点犃的距离与它们到点犅的距离分别相 等．如果把线段犃犅沿直线犾对折，线段犘１犃与犘１犅、线段犘２犃与犘２犅、线段 犘３犃与犘３犅.都是重合的，因此它们也分别相等． 由此我们可以得出线段的垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 利用判定两个三角形全等的方法，也可以证明这个性质． 如图２０．１７，直线犾⊥犃犅，垂足为犆，犃犆＝犆犅，点 犘 在犾上．求 证犘犃＝犘犅． P B C l A 图２０．１７ 证明：∵ 犾⊥犃犅， ∴ ∠犘犆犃＝∠犘犆犅． 又 犃犆＝犆犅，犘犆＝犘犆， ∴ △犘犆犃≌△犘犆犅 （ＳＡＳ）． ∴ 犘犃＝犘犅． 反过来，如果犘犃＝犘犅，那么点犘是否在线段犃犅的垂直平分线上呢？ 通过证明可以得到： 你能证明这个 结论吗？ 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂 直平分线上． 从上面两个结论可以看出：在线段犃犅的垂直 平分线犾上的点与犃，犅的距离都相等；反过来， 与犃，犅的距离相等的点都在犾上，所以直线犾可 以看成与两点犃，犅的距离相等的所有点的集合． ５
例1尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，DL已知：直线AB和AB外一点C（图20.1-8）B4K求作：AB的垂线，使它经过点CKF作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在图20.1-8AB的两旁（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E.想一想，为什DF（3）分别以点D和点E为圆心，大于么直线CF就是所的长为半径作弧，两弧相交于点F求作的垂线？（4）作直线CF.直线CF就是所求作的垂线，练习1.如图，ADIBC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上.AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？D（第1题）（第2题）2.如图，AB=AC，MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗？思考有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴6第二十章轴对称
!"#$%&'( A B C D K F E 图２０．１８ 例１ 尺规作图：经过已知直线外一点作这条 直线的垂线． 已知：直线犃犅和犃犅外一点犆 （图２０．１８） 求作：犃犅的垂线，使它经过点犆． 作法：（１）任意取一点犓，使点犓 和点犆在 犃犅的两旁． 想一想，为什 么直线犆犉 就是所 求作的垂线？ （２）以点犆为圆心，犆犓 长为半径作弧，交 犃犅于点犇 和犈． （３）分别以点犇 和点犈 为圆心，大于１ ２犇犈 的长为半径作弧，两弧相交于点犉． （４）作直线犆犉． 直线犆犉就是所求作的垂线． B C A M B CD E A （第１题） （第２题） １．如图，犃犇⊥犅犆，犅犇＝犇犆，点犆 在犃犈 的垂直平分线上．犃犅，犃犆，犆犈 的 长度有什么关系？犃犅＋犅犇 与犇犈有什么关系？ ２．如图，犃犅＝犃犆，犕犅＝犕犆．直线犃犕 是线段犅犆的垂直平分线吗？ 有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形， 你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？ 如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平 分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线， 就可以得到这两个图形的对称轴． ６
例2如图20.1-9（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？.BA.BA.(1)(2)图20.1-9分析：我们只要连接点A和点B，作出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和点B的对称轴。为此作出到点A，B距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线作法：如图20.1-9（2).1ZAB（1）分别以点A和点B为圆心，大于这个作法实际上就是线段垂直平分线的长为半径作弧（想一想为什么），两弧相交于的尺规作图，我们也可C，D两点；以用这种方法确定线（2）作直线CD段的中点,CD就是所求作的直线同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴。例如，对于图20.1-10中的五角星，我们可以找出它的一对对应点A和A，连接AA'，作出线段AA的垂直平分线l，则1就是这个五角星的一条对称轴.类似地，你能作出这个五角星的其他对称轴吗？图20.1-107第二十章轴对称
!"#$%&'( 例２ 如图２０．１９（１），点犃和点犅关于某条直线成轴对称，你能作出这 条直线吗？ B C D A B A （１） （２） 图２０．１９ 分析：我们只要连接点犃 和点犅，作出线段犃犅 的垂直平分线，就可以 得到点犃和点犅的对称轴．为此作出到点犃，犅距离相等的两点，即线段犃犅 的垂直平分线上的两点，从而作出线段犃犅的垂直平分线． 这个作法实际上 就是线段垂直平分线 的尺规作图．我们也可 以用这种方法确定线 段的中点． 作法：如图２０．１９（２）． （１）分别以点犃 和点犅 为圆心，大于１ ２犃犅 的长为半径作弧 （想一想为什么），两弧相交于 犆，犇 两点； （２）作直线犆犇． 犆犇 就是所求作的直线． 同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组 对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就 A A l 图２０．１１０ 得到此图形的对称轴． 例如，对于图２０．１１０中的五角星，我们可 以找出它的一对对应点犃 和犃′，连接犃犃′，作出 线段犃犃′的垂直平分线犾，则犾就是这个五角星的 一条对称轴． 类似地，你能作出这个五角星的其他对称 轴吗？ ７
练习1.作出下列各图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？(第1题）2.如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？RDC（第2题）（第3题）3.如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？作出它们的对称轴，习题201复习巩固1.下面的图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它的对称轴吗？（第1题）2.下列各图形是轴对称图形吗？如果是，画出它们的一条对称轴（第2题）8第二十章轴对称
!"#$%&'( （第１题） A C B D （第２题） （第３题） １．作出下列各图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？ ２．如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ ３．如图，与图形Ａ成轴对称的是哪个图形？作出它们的对称轴． 习题２０．１ １．下面的图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它的对称轴吗？ （第１题） ２．下列各图形是轴对称图形吗？如果是，画出它们的一条对称轴． （第２题） ８