63格与布尔代数 格的定义与实例 格的性质 口对偶原理 口交换律、结合律、幂等律、吸收律 ■格的等价定义 子格 格的同构 ■特殊的格:分配格、有界格、有补格、布尔格
11 6.3 格与布尔代数 ◼ 格的定义与实例 ◼ 格的性质 对偶原理 交换律、结合律、幂等律、吸收律 ◼ 格的等价定义 ◼ 子格 ◼ 格的同构 ◼ 特殊的格：分配格、有界格、有补格、布尔格
格的定义 定义设<S,≤>是偏序集,如果∨xy≤S,{x都有 最小上界和最大下界,则称S关于偏序≤作成一个 格. 由于最小上界和最大下界的惟一性,可以把求{xy} 的最小上界和最大下界看成x与y的二元运算∨和 ∧,即xy和x∧y分别表示x与y的最小上界和 最大下界 注意:这里出现的∨和∧符号只代表格中的运算, 而不再有其他的含义
12 格的定义 定义 设<S, ≼>是偏序集，如果x,y≼S，{x,y}都有 最小上界和最大下界，则称S关于偏序≼作成一个 格. 由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求{x,y} 的最小上界和最大下界看成 x 与 y 的二元运算∨和 ∧，即 x∨y 和 x∧y 分别表示 x 与 y 的最小上界和 最大下界. 注意：这里出现的∨和∧符号只代表格中的运算， 而不再有其他的含义
格的实例 例设n是正整数,Sn是n的正因子的集合.D为 整除关系,则偏序集<Sn,D>构成格xy∈Sn xVy是Icm(xy),即x与y的最小公倍数x∧y 是gcd(x),即x与y的最大公约数 下图给出了格<S,D>,<SD>和<S30,D o8 30 2 3 2 5 (S8,D) (S6,D) (S30,D) 13
13 格的实例 例 设n是正整数，Sn是n的正因子的集合. D为 整除关系，则偏序集<Sn ,D>构成格.x,y∈Sn， x∨y 是 lcm(x,y)，即 x 与 y 的最小公倍数. x∧y 是 gcd(x,y)，即 x 与 y 的最大公约数. 下图给出了格<S8 ,D>，<S6 ,D>和<S30,D>