第四章函数的连续性 教学目标:通过本章的教学,使学生 (一)掌握本章的基本概念,如函数在某点连续、单侧连续及其关系、函数在一个区间上按段连续、连 续和一致连续及其关系、间断点及其分类 (二)掌握连续函数的性质,其中包括(1)局部性质:局部有界性、局部保号性;(2)运算性质:四则运 算、复合运算严格单调的反函数均保持连续性;(3)闭区间上的连续函数的四大性质 (三)了解初等函数在其定义区间上连续,基本初等函数在其定义域内连续,利用 Riemann函数和 Dirichlet函数等会造一些特殊性质的函数 (四)在数学论证方法上得到初步的训练 置点:连续和一致连续的定义及之间的重要差别连续函数的性质及其应用,闭区间上连续函数的 性质的掌握及其应用 难点:一致连续性概念的理解和掌握 §1连续性概念 函数在一点的连续性 从字面上看,不难理解连续和间断是对立的概念,是事物互为否定的两个方面,它的实际背景是客 观事物的渐变和突变.从几何上讲连续函数的图形是一条连绵不断的曲线,但并非任何函数都可准确 地作出其图形的,因此要找出连续的本质特征,给出其糖确的定义为此,先给出增量的概念:称x-x 为自变量x(在x点)的增量或改变量(可正可负可为0),记作Ax,即Ax=x-x0,称f(x)-f(x)= f(xo+Ax)-f(x。)为函数y=f(x)(在x。点)的相应增量,记作Ay即Ay=f(xo+△r)-f(xa)= f(x)-f(x),(可正可负可为0) 以一个未成年的健康孩子的身高为例,孩子的身高y显然是时间t的增函数,但是再细心的父母也 无法说出自己的孩子今天比昨天高多少,这就是因为身高是连续变化的,不会发生突变!用增量的语言 来说就是当时间t的增量Δ很小时,身高函数y的相应增量y也很小,用极限的语言来说就是当时间 的增量M→0时,身高函数的相应增量4y也趋向于0这就是连续函数的本质特征 定义1-1-1设y=f(x)在U(x)内有定义,若may(=m[(x+4x)-f(x)])=0 则称f(x)在点x。连续.(增量极限 定义1-1-2设y=∫(x)在U(x)内有定义,若lm∫(x)=∫(x),则称f(x)在点r连续 (函数极限 注1°(由此见)f(x)在点x连续是指以下三个条件满足:①f(xn)有定义,②limf(x)3(有限本 章讲的极限均指正常极限),③两者相等 例如尽管f(x)=xsin,x≠0,g(x) h(x) 在x=0处 0 的极限均存在,但在x=0点,上述三函数中只有h(x)是连续的.由定义1-1-2,易见: 定义1-1-3f(x)在点x处连续>0,♂>0,当|x-x。<δ时,|f(x)-f(x)
<e(∵|f(x)-∫(x)|=0<,x点显然满足,∴极限定义中“0<”去掉)(e一8语言) 定义1-1-4∫(x)在点x处连续台ε>0,3♂>0,当x∈(x的♂邻域)U(x,B)时,f(x) ∈(f(x)的e邻域)(f(x0),e)(去心略去)(邻域语言) 定义1-1-5∫(x)在点x处连续{xn};若 limx=x0,则limf(xn)=f(x)(x异于x的 条件略去)(海因归结原则 定义1-1-6f(x)在点x0处连续Ve>0,38>0,使对x',x"∈U(xn,)时,|∫(x) f(x")|<e(去心条件略去)( Cauchy收敛准则) 以上定义是彼此等价的,在证明∫在x连续或不连续,或用∫在x连续的条件证明命题时,可根据 函数的结构和问题的需要选择上述某种叙述 注2f(x)在点x连续,则imf(x)=f(x)=f(limx)(极限运算与连续的对应法则可交换次 序) 例1证明f(x)=x·D(x)在点x=0处连续,其中 D(x)J1r∈g 注fGx)={ 1or∈RQ 0x∈R [xo,x。+b) lim f(r)=f(xo) 定义1-2设∫(x)在 内有定义,若 则称f(x)在点x。连续.由此 (x-8,x。 f(r)=fc 不难推出 理4一1f(x)在点x连续φ∫(x)在点x既左连续,又右连续 二、间断点及其分类 定义1-3设f(x)在某U(x)内有定义(x。处∫有无定义不限),但f(x)在点x不连续,则称 点x。为∫的间断点或不连续点 注1°若xo为∫的间断点:则必出现下列情形之一 (i)limf(x)(有限极限),但 在x6无定义 可去间断点 f(x)在x虽有定义,但f(x)≠Imf(x) (i)∫(x+0)和∫(x0-0)均存在(且有限)但不相等.一跳跃间断点 可去间断点和跳跃间断点统称作第一类间断点(其特征是∫在点x左右极限均彐的间断点) (i)(其它形式的间断点)f(x)在x。点至少有一侧极限不存在,x称作f的第二类间断点 (如limf(x)或lmf(x)或lim∫(x)=∞,特别地称作无穷间断点,属第二类) 例如(1)f(x)=xin1,x≠0和g(x)= n-x≠0 limf(x)=03,但f(0)无定义, 为的可去间断点 limg(x)=0≠g(0) 注2若x为函数f(x)的可去间断点只要补充或改变f(x)在x处的函数值即令 ff(r) (x)= 则∫(x)在x处连续 mf(x)x=了
(2)整数n为∫(2=[x]的跳跃间断点 3)x=0为f(x)=的无穷间断点(从而为第二类) 例2指出下列函数在指定点是否间断,若间断,属于哪一类的? (1)f(x)= 1 I<o (2)f(x)= x≠0 (3)∫(x)=co±,x≠0 (4)f(x)={(x+2) 命题4-1设∫(x)在(a,b)内单调,若x∈(a,b)为f的间断点,则x必是∫的跳跃间断点 三、区间上的连续函数 义若函数厂在开区间(有限或无限)内每一点都连续,则称∫(x)为I内的连续函数 若∫(x)在(ab)内连续,且f(x)在x=a处右连续,在x=b处左连续,则称f(x)为[a, b]上的连续函数 同理可以定义∫(x)在半开半闭(包括有限或无限)区间上的连续性 例如:y=sinx,和y=cosx在R上连续.(P44例4) 0x∈Q 同时也存在在其定义区间上每一点都不连续的函数,例如D(x) ∈R 当x=P(p,q∈N,且P为既约真分数 例3证R(x)m 在(0,1)内任何无理点处都连 当x=0,1及(0,1)中的无理数 续,在有理点处均不连续 bx≤0 例4设∫(x)= 当b=?时f(x)在(-∞,+∞)内连续(k∈R为常数) 四、按段连续(也叫分段连续 定义:若函数∫(x)在闭区间[a,b]上仅有有限个第一类不连续点则称∫(x)在[a]上是按段连 续的 例如f(x)=[r]或f(x)=x-[x]在任何闭区间上都是分段连续的 §2连续函数的性质 连续函数的局部性质 f(x)在x连续,即lmf(x)=f(x),从而由第三章§2中介绍的函数极限的性质可推断出 f(x)在x。的某邻域内的性态
(x0)或U(x0,3)→U(x)或U(xo,8) 须将那里的 1<8→|x-x。l< 条件“x≠x0”去掉 定理4-2(局部有界性)若函数∫在点x。连续,则∫在某U(x)内有界 定理4-3(局部保号性)若函数∫在点x连续,且f(x)0. 则对￥r 都彐某U(x0),使对x∈U(x)有 f(x)>r≥ f(x6)<r≤0, f(x)<r≤0 (特别地,若∫(x)在x连续,(x0)≠0,则彐某U(x)使当x∈U(x)时∫(x)·f(x)>0,即f(x) 与∫(x)同号) 定理4-4(四则运算法则)若函数f和g都在点x连续,则 (i)∫士g及∫·g也在点x连续 i)当g(x0)≠0时,也在点x连续 例1(1)∵y=C和y=x在R上连续→y=ax在R上连续(∈N+)→多项式函数P(x) ax”+a,-1x1+…+a1x+a在R上连续→有理函数R(x) (x),Q(x)均为多项式)在 其定义域的每一点均连续 (2)三角函数 y =sIn,4,y=cosr在R上连续(见P44例4),进而tgx,ctgr在其定义域内连续(三角 函数在其定义域内连续) (3)同上可知f(x)=rnx+x2-4在(-∞,-2)U(-22)U(2,+∞)内连续 例2如f(x)在点x连续,则|f(r)|在点x连续(∵limf(r)l=|f(x).)设∫(x),g(x) 在点x连续则max{/(x),g(x)}=f()+g(x)+1f(x)-(x)在点x点也连续.(ch4§23) 特别地,f(x)的正部函数f(x)=mar(/(x),0}=(x)+()在x点也连续 例3设f(x)在(a,b)内连续,且对r∈(a,b)∩Q,f()=0,则对yr∈(a,b),也有f(x)= 注1°例3中的条件“f(r)=0,r∈Q”换成“f()=A,r∈Q”也可推出Ⅴx∈(a,b)有f(x) A.另外(a,b)换成其它类型的区间,结论也成立 2°证明的方法具有一般性这表明连续函数在Q(或R的某稠密子集)上的一些性质可传导到R 上 忆:复合函数的极限运算法则: 若① limp(r)=A(A有限);②limf(u)=B(有限);③当x∈某U(x)时px)≠A As limf((x))=B=limf(u) 若①limy(r)=∞;②limf()=B(有限),则limf(gx))=B=limf(a) 定理4一5(复合函数的连续性)设f(x)在x连续,M=f(x),g(a)在连续,则g(f(x))在
x。也连续 注1°上述结果还可推广到内层函数仅极限存在的情形 命题4一2(次序交换定理)设limf(x)=A(有限极限),g在A处连续,则 img((x))、交换次序 g(limf(r)) 注2°(1)定理4-5可推广到内层函数和结论是单侧连续的情形 (2)命题4-2可推广到x→x,x,∞,+∞,-∞及内层为数列的情形,即若lman= A,g(a)在t=A处连续,则limg(an)=g(A) 将定理4-5,命题4-2与复合函数的极限运算法则进行比较 连续函数的概念和上述所有结论除用于讨论连续外,还为求极限提供了便利方法 例4求下列极限 (1)my2 lim (3)limin 2i+4 (4)limin m (18=)m 二、闭区间[ab上的连续函数的基本性质(整体性质) 定义2-1设∫为定义在数集D上的函数若彐x0∈D使对vx∈D有f(x)f(x)则称∫ 在D上有最值,并称f(x)为∫在D的最值,x称作∫在D上的最人值点 注:一般来说,∫在D上的最大小值未必存在如f(x)=x在(0,1)无最八值(尽管∫在(0,1)内 有界 例如 函数 最大值 最小值 f()=sinr [o,2n] f(x)={x(-1,1 f(r) 1,]-(0A 彐 彐 定理4-6(最值存在定理)若f(x)在[ab]上连续则∫在[a,b上必有最大值和最小值,即