52代数系统及其子代数、积代数 ■代数系统定义 ■同类型与同种的代数系统 ■子代数 ■积代数
1 ◼ 代数系统定义 ◼ 同类型与同种的代数系统 ◼ 子代数 ◼ 积代数 5.2 代数系统及其子代数、积代数
代数系统定义与实例 定义 非空集合S和S上k个一元或二元运算f, 历,…,f组成的系统称为一个代数系统,简称代 数,记做=<S,f1,2,…,f> S称为代数系统的载体,S和运算叫做代数系 统的成分.有的代数系统定义指定了S中的特殊 元素,称为代数常数,例如二元运算的单位元 有时也将代数常数作为系统的成分
2 代数系统定义与实例 定义 非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 f1 , f2 , … , fk 组成的系统称为一个代数系统, 简称代 数，记做 V=<S, f1 , f2 , … , fk>. S 称为代数系统的载体， S 和运算叫做代数系 统的成分. 有的代数系统定义指定了S中的特殊 元素，称为代数常数, 例如二元运算的单位元. 有时也将代数常数作为系统的成分
实例 <N,+>,<Z,+,>,<R,,>是代数系统, +和·分别表示普通加法和乘法 <Mn(R,+,>是代数系统, +和·分别表示n阶(n≥2)实矩阵的加法和乘法 <zn2,⑧>是代数系统,Zn={0,1 ④和⑧分别表示模n的加法和乘法,Vxy∈Zn, xOy=(rty) mod n, xOy=(xy) mod n <P(S),∪,∩,>也是代数系统, U和∩为并和交,~为绝对补
3 实例 <N,+>, <Z,+,·>, <R,+,·>是代数系统， + 和 · 分别表示普通加法和乘法. <Mn (R),+,·>是代数系统， + 和 · 分别表示n 阶 (n≥2) 实矩阵的加法和乘法. <Zn ,,>是代数系统，Zn ＝{0, 1, … , n-1}， 和 分别表示模 n 的加法和乘法，x,y∈Zn， xy = (x＋y) mod n，xy = (xy) mod n <P(S),∪,∩,~> 也是代数系统， ∪和∩为并和交，~为绝对补
同类型与同种代数系统 定义(1)如果两个代数系统中运算的个数相同 对应运算的元数相同,且代数常数的个数也相同, 则称它们是同类型的代数系统 (2)如果两个同类型的代数系统规定的运算性质 也相同,则称为同种的代数系统 例1V1=<R,+,,0,1>, V2=<Mn(R),+,,θ,E>, 0为n阶全0矩阵,E为n阶单位矩阵 =<P(B),∪,∩,,B>
4 同类型与同种代数系统 定义 (1) 如果两个代数系统中运算的个数相同， 对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同， 则称它们是 同类型的 代数系统. (2) 如果两个同类型的代数系统规定的运算性质 也相同，则称为 同种的 代数系统. 例1 V1 = <R, +, ·, 0, 1>, V2 = <Mn (R), +, ·, , E>, 为 n 阶全 0 矩阵，E 为 n 阶单位矩阵 V3 = <P(B), ∪, ∩, , B>
同类型与同种代数系统(续) +可交换可结合+可交换,可结合U可交换,可结合 可交换,可结合·可交换,可结合∩可交换,可结合 +满足消去律满足消去律不满足消去律 满足消去律 满足消去律不满足消去律 对+可分配 对+可分配 ∩对U可分配 +对·不可分配+对·不可分配U对∩可分配 +与·没有吸收+与·没有吸收律U与∩满足吸收律 律 V1,V2V3是同类型的代数系统 V1,V2是同种的代数系统 V1,V2与不是同种的代数系统
5 V1 V2 V3 + 可交换, 可结合 · 可交换, 可结合 + 满足消去律 · 满足消去律 · 对+可分配 + 对 · 不可分配 +与 · 没有吸收 律 + 可交换, 可结合 · 可交换, 可结合 + 满足消去律 · 满足消去律 · 对+可分配 + 对 · 不可分配 +与 · 没有吸收律 ∪可交换, 可结合 ∩可交换, 可结合 ∪不满足消去律 ∩不满足消去律 ∩对∪可分配 ∪对∩可分配 ∪与∩满足吸收律 V1 , V2 , V3是同类型的代数系统 V1 , V2是同种的代数系统 V1 , V2与V3不是同种的代数系统 同类型与同种代数系统（续）