第六章微分中值定理及其应用 微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒 定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁,是利用导数的局部性质推 断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中 出现了中值“”,虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解,但一般来 说这并不影响中值定理的广泛应用. 1.教学目的与要求:掌握微分中值定理与函数的 Taylor公式并 应用于函数性质的研究,熟练应用L′ Hospital法则求不定式极限, 熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题 2.教学重点与难点: 重点是中值定理与函数的 Taylor公式,利用导数研究函数的 单调性、极值与凸性 难点是用辅助函数解决有关中值问题,函数的凸性. 3.教学内容: §1拉格朗日定理和函数的单调性 本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识一罗尔定理,并由 此来讨论函数的单调性. 罗尔定理与拉格朗日定理 定理6.1(罗尔( Rolle)中值定理)设∫满足 (i)在[ab上连续; (i)在(a,b)内可导 (iii)f(a)=f(b)
第六章 微分中值定理及其应用 微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒 定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推 断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中 出现了中值“ ”，虽然我们对中值“ ”缺乏定量的了解，但一般来 说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的 Taylor 公式并 应用于函数性质的研究，熟练应用 L＇Hospital 法则求不定式极限， 熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点： 重点是中值定理与函数的 Taylor 公式，利用导数研究函数的 单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性 本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由 此来讨论函数的单调性. 一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设 f 满足 (ⅰ)在 a,b 上连续; (ⅱ)在 (a, b) 内可导; (ⅲ) f (a) = f (b)
则3∈(a,b)使 f"()=0 注(i)定理6.1中三条件缺一不可 如 0≤x<1 ,(ⅱi),(i)满足,(i)不满足, 结论不成立 2°y=,(i),(i)满足,(i)不满足,结论不成 立 3°y=x,(i),(ⅱ)满足,(i)不满足,结论不成 立 (ⅱi)定理6.1中条件仅为充分条件 如:f(x) r∈e-gx∈-ll,f不满足(i), (i),(i)中任一条,但f(0)=0 (ⅲi)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续 曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线 例1设∫在R上可导,证明:若f(x)=0无实根,则f(x)=0最多只 有一个实根 证(反证法,利用 Rolle定理) 例2证明勒让德( Legendre)多项式 Pn(x)2"n 在(-1)内有n个互不相同的零点 将 Rolle定理的条件(ⅲi)去掉加以推广,就得到下面应用更为广
则 (a,b) 使 f ( ) = 0 (1) 注 (ⅰ)定理 6.1 中三条件缺一不可. 如: 1º = = 0 1 0 1 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2º y = x , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成 立. 3º y = x , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成 立. (ⅱ) 定理 6.1 中条件仅为充分条件. 如: 1,1 ( ) 2 2 − − − = x x x R Q x x Q f x , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但 f (0) = 0. (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续 曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设 f 在 R 上可导,证明:若 f (x) = 0 无实根,则 f (x) = 0 最多只 有一个实根. 证 (反证法,利用 Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx d x n P x ( 1) 2 ! 1 ( ) 2 − = 在 (−1,1) 内有 n 个互不相同的零点. 将 Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广
泛的 Lagrange中值定理 定理6.2(拉格朗日( Lagrange中值定理)设∫满足 (i)在[b上连续; (i)在(a,b)内可导 则彐∈(a,b)使 f(5)=f(b)-f(a) [分析](图见上册教材121页图6-3)割线AB的方程为 y=/(a)+f(b)-f(a) (x-a) 问题是证明5e(ab),使f(5)与割线在处导数yx:相等 即证 If(x-f(a) ∫(b)-f(a) (x-a)]=0 证作辅助函数F(x)=f(x)-f(a) ∫(b)-f(a (x-a),x∈[a,b 注(i) Lagrange中值定理的几何意义是:在满足定理条件的曲 线上至少存在一点使得曲线在该点处的切线平行于曲线两端点连线 (i)(2)式称为 Lagrange(中值)公式,它还有以下几种等价形 式 f(b)-f(a)=f'((b-a,a<5<b f(b)-f(a)=f(a+b(b-a)b-a.0<6< f(a+h)-f(a)=f(a+bh)h0<6<1 另外,无论a>b,还是a<b, Lagrange(中值)公式都成立.此公式 将由自变量的变化而引起的因变量的增量与导数联系起来,而且比上 章中有限增量公式前进了一大步,这也是 Lagrange中值定理应用 更为广泛的原因之
泛的 Lagrange 中值定理. 定理 6.2(拉格朗日(Lagrange 中值定理)设 f 满足 (ⅰ)在 a,b 上连续; (ⅱ)在 (a, b) 内可导 则 (a,b) 使 b a f b f a f − − = ( ) ( ) ( ) (2) [分析]（图见上册教材 121 页图 6-3） 割线 AB 的方程为 ( ) ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a y f a − − − = + 问题是证明 (a,b) ,使 f ( ) 与割线在 处导数 = x y 相等 即证 ( )] 0 ( ) ( ) [ ( ) ( ) − = − − − − a x b a f b f a f x f a 证 作辅助函数 ( ), [ , ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a x a b b a f b f a F x f x f a − − − = − − 注 (ⅰ)Lagrange 中值定理的几何意义是:在满足定理条件的曲 线上至少存在一点使得曲线在该点处的切线平行于曲线两端点连线. (ⅱ)(2)式称为 Lagrange(中值)公式,它还有以下几种等价形 式 ( ) ( ) ( ) ,0 1 (5) ( ) ( ) ( ( ))( ),0 1 (4) ( ) ( ) ( )( ), (3) + − = + − = + − − − = − f a h f a f a h h f b f a f a b a b a f b f a f b a a b 另外,无论 a b ,还是 a b , Lagrange(中值)公式都成立.此公式 将由自变量的变化而引起的因变量的增量与导数联系起来,而且比上 一章中有限增量公式前进了一大步,这也是 Lagrange 中值定理应用 更为广泛的原因之一
(i) Lagrange中值定理是 Rolle中值定理的推广 (iv) Lagrange中值定理的证明方法是用辅助函数法.在教材 中首先构造辅助函数 F(x)=f(x)-f(a)-t() 0(r-a)xela, b b 然后验证F(x)在[a,b上满足Role定理的三个条件,从而由 Rolle定 理推出F(x)存在零点而使定理得到证明.推而广之,许多中值命题常 常使用这种构造辅助函数的方法.我们用框图示意如下 题目的假设 +- 题目所要结论 辅助函数满足 辅助函数导函数 Rolle定理条件 零点存在性 当然辅助函数构造的方法不是唯一的.针对本定理,教材是从 Lagrange中值定理的几何意义出发构造辅助函数F(x).我们也可以构 造以下两个辅助函数来证明该定理 1°注意到(2)式成立3∈(ab)使得r()-10)-/a=0 b er(x)-(b)-a在(ab)内存在零点 b e(x)-6)-/(x在ab内存在零点 根据以上分析我们作辅助函数c(x)=()-2(b)-ax(注意这种构造 b-a 辅助函数的方法是常见的)
(ⅲ) Lagrange 中值定理是 Rolle 中值定理的推广. (ⅳ) Lagrange 中值定理的证明方法是用辅助函数法.在教材 中首先构造辅助函数 ( ), [ , ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a x a b b a f b f a F x f x f a − − − = − − 然后验证 F(x) 在[ a,b] 上满足 Rolle 定理的三个条件,从而由 Rolle 定 理推出 F(x) 存在零点而使定理得到证明.推而广之,许多中值命题常 常使用这种构造辅助函数的方法.我们用框图示意如下: 当然辅助函数构造的方法不是唯一的.针对本定理,教材是从 Lagrange 中值定理的几何意义出发构造辅助函数 F(x) .我们也可以构 造以下两个辅助函数来证明该定理. 1º 注意到(2)式成立 (a,b) 使得 0 ( ) ( ) ( ) = − − − b a f b f a f b a f b f a f x − − − ( ) ( ) ( ) 在 (a,b) 内存在零点 ] ( ) ( ) [ ( ) − − − x b a f b f a f x 在 (a,b) 内存在零点 根据以上分析我们作辅助函数 x b a f b f a G x f x − − = − ( ) ( ) ( ) ( ) (注意这种构造 辅助函数的方法是常见的). 题目的假设 辅 助 函 数 满 足 Rolle 定理条件 件 辅助函数导函数 零点存在性 题目所要结论
2°辅助函数H(x)=a f(a) f(b)f(x) I(b)-f(a)f(x)-f(a) 例3证明对vh>-1h≠0,有 h In(1+h)<h 1+h 证[法一令f(x)=h(1+x),在[0h或h0上利用 Lagrange中值定 理可证之 [法二]令f(x)=hx,在1+h或+h上利用 Lagrange中值 定理可证之 推论1若f在区间1上可导,f(x)=0,x∈1,则f在/上为常数 推论2若f,g都在区间上可导,且x∈1,f(x)=g(x),则在上, f与g仅相差一个常数,即存在常数C,使对vx∈有 f(x)=g(x)+C 推论3(导数极限定理)设∫在x的某邻域U(x)内连续,在 (x)内可导,且lmf(x)存在,则f(x0)存在,且 f(ro=limf(x) x→x0 注(i)由导数极限定理不难得出区间(a,b)上导函数f(x)不会 有第一类间断点 (i)导数极限定理可以用来求分段函数在分段点处的导 数. 例4证明恒等式 arcsin x+ arccos= arctan x+ arc cotx= 2 例5求f(x) +smx2,x≤0的导数 ln(1+x),x>0
2º 辅助函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) f b f a f x f a b a x a f a f b f x H x a b x − − − − = = 例 3 证明对 h −1, h 0, 有 h h h h + + ln(1 ) 1 证 [法一]令 f (x) = ln(1+ x), 在 [0, h] 或 [h,0] 上利用Lagrange 中值定 理可证之. [法二]令 f (x) = ln x, 在 [1,1+ h] 或 [1+ h,1] 上利用 Lagrange 中值 定理可证之. 推论 1 若 f 在区间 I 上可导, f (x) 0, x I ,则 f 在 I 上为常数. 推论 2 若 f , g 都在区间 I 上可导, 且 x I, f (x) = g (x) ,则在 I 上, f 与 g 仅相差一个常数,即存在常数 C ,使对 xI 有 f (x) = g(x) + C 推论 3 (导数极限定理) 设 f 在 0 x 的某邻域 ( ) 0 U x 内连续,在 ( ) 0 0 U x 内可导,且 ( ) lim 0 f x x x → 存在,则 ( ) 0 f x 存在,且 ( ) ( ) lim 0 f x f x x x o = → 注 (ⅰ)由导数极限定理不难得出区间 (a, b) 上导函数 f (x) 不会 有第一类间断点. (ⅱ) 导数极限定理可以用来求分段函数在分段点处的导 数. 例 4 证明恒等式 2 , arctan cot 2 arcsin arccos x + x = x + arc x = 例 5 求 + + = ln(1 ), 0 sin , 0 ( ) 2 x x x x x f x 的导数