第一章初等积分法 第1讲微分方程与解 第2讲变量可分离方程 第3讲齐次微分方程 第4讲一阶线性微分方程 第5讲全微分方程与积分因子 第6讲一阶隐式微分方程 第7讲几种可降阶的高阶方程 第8讲应用举例 第二章基本定理 第09讲解的存在性与唯一性定理 第10讲解的延展 第11讲奇解与包络 第12讲解对初值的连续依赖性 第三章线性微分方程组 第13讲一阶微分方程组及一阶线性微分方程组的一般概念 第14讲线性齐次微分方程组的一般理论 第15讲线性非齐次微分方程组的一般理论 常系数线性微分方程组的解法(单实根) 第16讲常系数线性微分方程组的解法(复、重根) 第四章线性微分方程 第17讲n阶线性微分方程的一般理论 第18讲n阶常系数线性齐次方程的解法 第19讲n阶常系数线性非齐次方程的解法 第20讲二阶常系数线性方程与振动现象 第五章定性和稳定性理论简介 第21讲稳定性概念及李雅普诺夫第二方法 第22讲平面自治系统的基本概念 平面定性理论简介(1 第23讲平面定性理论简介(2)
第一章 初等积分法 第 1 讲 微分方程与解 第 2 讲 变量可分离方程 第 3 讲 齐次微分方程 第 4 讲 一阶线性微分方程 第 5 讲 全微分方程与积分因子 第 6 讲 一阶隐式微分方程 第 7 讲 几种可降阶的高阶方程 第 8 讲 应用举例 第二章 基本定理 第 09 讲 解的存在性与唯一性定理 第 10 讲 解的延展 第 11 讲 奇解与包络 第 12 讲 解对初值的连续依赖性 第三章 线性微分方程组 第 13 讲 一阶微分方程组及一阶线性微分方程组的一般概念 第 14 讲 线性齐次微分方程组的一般理论 第 15 讲 线性非齐次微分方程组的一般理论 常系数线性微分方程组的解法(单实根） 第 16 讲 常系数线性微分方程组的解法(复、重根) 第四章 线性微分方程 第 17 讲 n 阶线性微分方程的一般理论 第 18 讲 n 阶常系数线性齐次方程的解法 第 19 讲 n 阶常系数线性非齐次方程的解法 第 20 讲 二阶常系数线性方程与振动现象 第五章 定性和稳定性理论简介 第 21 讲 稳定性概念及李雅普诺夫第二方法 第 22 讲 平面自治系统的基本概念 平面定性理论简介(1) 第 23 讲 平面定性理论简介(2)
第1讲微分方程与解 微分方程 什么是微分方程?它是怎样产生的?这是首先要回答的问题 300多年前,由牛顿( Newton,1642-1727)和莱布尼兹( eibniz,1646-1716所创立的微 积分学,是人类科学史上划时代的重大发现,而微积分的产生和发展,又与求解微分方 程问题密切相关这是因为,微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规 律的需求一般地,运动规律很难全靠实验观测认识清楚,因为人们不太可能观察到运动 的全过程然而,运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间,通常在运动过程中按照 某种己知定律存在着联系,我们容易捕捉到这种联系,而这种联系,用数学语言表达出 来,其结果往往形成一个微分方程一旦求出这个方程的解,其运动规律将一目了然下 面的例子,将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言 例1物体下落问题 设质量为m的物体,在时间=0时,在距地面高度为H处以初始速度v(0)=v0垂直 地面下落,求ss此物体下落时距离与时间的关系 解如图1-1建立坐标系,设为t时刻物体的位置坐标于是物体下落的速度为 加速度为 质量为m的物体,在下落的任一时刻所受到的外力有重力mg和空气阻力,当速度不太 大时,空气阻力可取为与速度成正比于是根据牛顿第二定律 (力=质量×加速度) 可以列出方程 m8=-mg(= (1.1) 其中k>0为阻尼系数,g是重力加速度 (1.1)式就是一个微分方程,这里t是自变量,x是未知函数,是未知函数对t导 数现在,我们还不会求解方程(1.1),但是,如果考虑k=0的情形,即自由落体运动,此 时方程(1.1)可化为 将上式对t积分两次得 gt+ct+cal 其中 是两个独立的任意常数,它是方程(12)的解 一般说来,微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关
第 1 讲 微分方程与解 微分方程 什么是微分方程？它是怎样产生的？这是首先要回答的问题. 300 多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微 积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方 程问题密切相关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规 律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动 的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照 某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出 来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.下 面的例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言. 例 1 物体下落问题 设质量为 m 的物体，在时间 t=0 时，在距地面高度为 H 处以初始速度 v(0) = v0垂直 地面下落，求 ss 此物体下落时距离与时间的关系. 解 如图 1-1 建立坐标系，设为 t 时刻物体的位置坐标.于是物体下落的速度为 ds v dt = 加速度为 质量为 m 的物体，在下落的任一时刻所受到的外力有重力 mg 和空气阻力，当速度不太 大时，空气阻力可取为与速度成正比.于是根据牛顿第二定律 F = ma (力=质量×加速度) 可以列出方程 (·= ） (1.1) 其中 k ＞ 0 为阻尼系数，g 是重力加速度. (1.1)式就是一个微分方程，这里 t 是自变量，x 是未知函数， 是未知函数对 t 导 数.现在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果考虑 k=0 的情形，即自由落体运动，此 时方程(1.1)可化为 (1.2) 将上式对 t 积分两次得 (1.3) 其中 和 是两个独立的任意常数，它是方程(1.2)的解. 一般说来，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关
系式如果其中的未知函数只与一个自变量有关,则称为常微分方程:如果未知函数是 两个或两个以上自变量的函数,并且在方程中出现偏导数,则称为偏微分方程本书所 介绍的都是常微分方程,有时就简称微分方程或方程 例如下面的方程都是常微分方程 dx (14) (1.5) 在一个常微分方程中,未知函数最高阶导数的阶数,称为方程的阶这样,一阶常 微分方程的一般形式可表为 如果在(1.8)中能将y解出,则得到方程 Jy'=f(x, y) (19) 或 M(xy)kx+M(xy)中y=0 (1.10) (1.8)称为一阶隐式方程(19)称为一阶显式方程,(1.10)称为微分形式的一阶方程 n阶隐式方程的一般形式为 F(x,J, y'y(a)=o (1.11) n阶显式方程的一般形式为 (1.12) 在方程(11)中,如果左端函数F对未知函数y和它的各阶导数yy"y)的全体而 言是一次的,则称为线性常微分方程,否则称它为非线性常微分方程这样,一个以y 为未知函数,以x为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式 y)+(x)y2+3+…+P21(x)y2+B(x)y=f(x (113) 显然,方程(4)是一阶线性方程:方程(1.5)是一阶非线性方程;方程(16)是二阶线 性方程:方程(1.7是二阶非线性方程 通解与特解 微分方程的解就是满足方程的函数,可定义如下 定义11设函数y=以在区间上连续,且有直到n阶的导数如果把y=叫
系式.如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知函数是 两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程.本书所 介绍的都是常微分方程，有时就简称微分方程或方程. 例如下面的方程都是常微分方程 （1.4） （1.5） (·= ) （1.6） (′= ) （1.7） 在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶.这样，一阶常 微分方程的一般形式可表为 （1.8） 如果在(1.8)中能将 y′解出，则得到方程 （1.9） 或 （1.10） (1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微分形式的一阶方程. n 阶隐式方程的一般形式为 （1.11） n 阶显式方程的一般形式为 (1.12) 在方程(1.11)中，如果左端函数 F 对未知函数 y 和它的各阶导数 y′,y″,…,y (n)的全体而 言是一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为非线性常微分方程.这样，一个以 y 为未知函数，以 x 为自变量的 n 阶线性微分方程具有如下形式： （1.13） 显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程(1.6)是二阶线 性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程. 通解与特解 微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下. 定义 1.１ 设函数 在区间 I 上连续，且有直到 n 阶的导数.如果把
代入方程(1.11),得到在区间Ⅰ上关于x的恒等式 则称y=为方程(1区间上的一个解 这样,从定义1.1可以直接验证: 1.函数y=x2+C是方程(14)在区间(-∞O,+∞)上的解,其中C是任意的常数 2.函数=m(ax+②是方程(15)在区间(-1+1)上的解,其中C是任意常 数又方程(1.5)有两个明显的常数解y=±1,这两个解不包含在上述解中 3.函数x=CCg+C2是方程16)在区间(x,+∞)上的解,其中和是独 立的任意常数 交、4函数》x+是方程(1.7)在区间(x+)上的解,其中和是独立的 意常数 这里,我们仅验证3,其余留给读者完成事实上,在(-,+∞)上有 1 sInt+C 所以在(-∞,+∞)上有 +x 从而该函数是方程(1.6)的解 从上面的讨论中,可以看到一个重要事实,那就是微分方程的解中可以包含任意常 数,其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等,也可以不含任意常数我们把n 阶常微分方程(1.11)的含有n个独立的任意常数C1,C2,….,Cn的解 (C1C2C,称为该方程的通解,如果方程(1)解=以 不包含任 意常数,则称它为特解由隐式表出的通解称为通积分,而由隐式表出的特解称为特积 分 由上面的定义,不难看出,函数=x+C》一(取不+Q和 G1cQ3+C2分 分别是方程(14,(15)和16)的通解,函要2=Cx+C是方程(17) 的通积分,而函数y=±1是方程(1.7)的特解通常方程的特解可对通解中的任意常数以定 值确定,这种确定过程,需要下面介绍的初始值条件,或简称初值条件 初值问题 例1中的函数(3显然是方程12)通解,由于圖和是两个任意常数,这表明 方程(1.2)有无数个解,解的图像见下面的图a和图b所示
代入方程(1.11)，得到在区间 I 上关于 x 的恒等式， 则称 为方程(1.11)在区间 I 上的一个解. 这样，从定义 1.1 可以直接验证： 1. 函数 y = x2＋Ｃ是方程(1.4)在区间(-∞，+∞)上的解，其中 C 是任意的常数. 2. 函数 是方程(1.5)在区间（-1,+1）上的解，其中 C 是任意常 数.又方程(1.5)有两个明显的常数解 y =±１，这两个解不包含在上述解中. 3. 函数 是方程(1.6)在区间(-∞，+∞)上的解，其中 和 是独 立的任意常数. 4. 函数 是方程(１.７)在区间(-∞，+∞)上的解，其中 和 是独立的 任意常数. 这里，我们仅验证 3，其余留给读者完成.事实上，在(-∞，+∞)上有 所以在（－∞，＋∞）上有 从而该函数是方程(1.6)的解. 从上面的讨论中，可以看到一个重要事实，那就是微分方程的解中可以包含任意常 数，其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等，也可以不含任意常数.我们把 n 阶 常 微 分 方 程 (1.11) 的 含 有 n 个 独 立 的 任 意 常 数 C1 ， C2 ， … ， Cn 的 解 ，称为该方程的通解，如果方程(1.11)的解 不包含任 意常数，则称它为特解.由隐式表出的通解称为通积分，而由隐式表出的特解称为特积 分. 由 上 面 的 定 义 ， 不 难 看 出 ， 函 数 和 分别是方程(1.4)，(1.5)和(1.6)的通解，函数 是方程(1.7) 的通积分，而函数 y =±１是方程(1.7)的特解.通常方程的特解可对通解中的任意常数以定 值确定，这种确定过程，需要下面介绍的初始值条件，或简称初值条件. 初值问题 例 1 中的函数(1.3)显然是方程(1.2)的通解，由于 和 是两个任意常数，这表明 方程(1.2)有无数个解，解的图像见下面的图 a 和图 b 所示
图a(C1>固定,C2>0) 图b(C1=0,C2>0) 而实际经验表明,一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹产生这种多解性的原因是 因为方程(12)所表达的是任何一个自由落体,在任意瞬时t所满足的关系式,并未考虑 运动的初始状态,因此,通过积分求得的其通解(13)所描述的是任何一个自由落体的运 动规律显然,在同一初始时刻,从不同的高度或以不同初速度自由下落的物体,应有不 同的运动轨迹为了求解满足初值条件的解,我们可以把例1中给出的两个初始值条件, 初始位置 x0=H初始速度0 代入到通解中,推得 于是,得到满足上述初值条件的特解为 H-5gt+vot 它描述了初始高度为H,初始速度为的自由落体运动规律 求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值问题 于是我们称(1.4)是初值问题 x(0)=H,x(0)=v0 的解 对于一个n阶方程,初值条件的一般提法是 其中是自变量的某个取定值,而0)%…,是相应的未知函数及导数的给 定值方程(1.12)的初值问题常记为 y(xn)=yo,y(x)=y6…,y(-3(x)=y2+3 初值问题也常称为柯西(Ccly)问题 对于一阶方程,若已求出通 ,只要把初值条件
图 a（C1＞固定，C2＞0） 图 b（C1=0,C2＞0） 而实际经验表明，一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹.产生这种多解性的原因是 因为方程(1.2)所表达的是任何一个自由落体，在任意瞬时 t 所满足的关系式，并未考虑 运动的初始状态，因此，通过积分求得的其通解(1.3)所描述的是任何一个自由落体的运 动规律.显然，在同一初始时刻，从不同的高度或以不同初速度自由下落的物体，应有不 同的运动轨迹.为了求解满足初值条件的解，我们可以把例 1 中给出的两个初始值条件， 即 初始位置 x(0)= H 初始速度 代入到通解中，推得 于是，得到满足上述初值条件的特解为 (1.14) 它描述了初始高度为 H，初始速度为 v0的自由落体运动规律. 求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值问题. 于是我们称(1.14)是初值问题 的解. 对于一个 n 阶方程，初值条件的一般提法是 (1.15) 其中 是自变量的某个取定值，而 是相应的未知函数及导数的给 定值.方程(1.12)的初值问题常记为 (1.16) 初值问题也常称为柯西（Cauchy）问题. 对于一阶方程，若已求出通解 ，只要把初值条件