零因子的定义与存在条件 设<R,+,>是环,若存在ab=0,且a≠0,b≠0,称a 为左零因子,b为右零因子,环R不是无零因子 环 实例<z,⊕,⑧>,其中2②3=0,2和3都是零因 无零因子环的条件 可以证明:ab=0→c=0√b=0分消去律
6 零因子的定义与存在条件 设<R,+,>是环，若存在 ab =0, 且 a0, b0, 称 a 为左零因子，b为右零因子，环R 不是无零因子 环. 实例 <Z6 ,,>，其中 23=0，2 和 3 都是零因 子. 无零因子环的条件： 可以证明：ab = 0 → a=0 b=0 消去律
特殊环的实例 (1)整数环Z、有理数环Q、实数环R、复数环C都是 交换环、含幺环、无零因子环和整环.其中除Z之 外都是域 (2)令2z={2x|z∈Z},则<2zZ,+,>构成交换环和无零 因子环.但不是含幺环和整环 (3)设n∈Z,n≥2,则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵 加法和乘法构成环,它是含幺环,但不是交换环 和无零因子环,也不是整环 (4)<z,⑧>构成环,它是交换环、含幺环,但不是 无零因子环和整环 注意:对于一般的n,Z是整环且是域◇n是素数
7 特殊环的实例 (1)整数环Z、有理数环Q、实数环R、复数环C都是 交换环、含幺环、无零因子环和整环. 其中除Z之 外都是域 (2)令2Z={ 2z | z∈Z }，则<2Z,+,·>构成交换环和无零 因子环. 但不是含幺环和整环. (3)设nZ, n2, 则 n 阶实矩阵的集合 Mn (R)关于矩阵 加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环 和无零因子环，也不是整环. (4)<Z6 ,,>构成环，它是交换环、含幺环，但不是 无零因子环和整环. 注意：对于一般的 n, Zn是整环且是域 n是素数
例题 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域 (1)A={a+bia,b∈Q},P=-1,运算为复数加法和乘法 (2)A={2x+1|z∈Z,运算为普通加法和乘法 (3)A={2zz∈Z,运算为普通加法和乘法 (4)A={x|x>20∧x∈},运算为普通加法和乘法 (5)A={a+b5a,b∈g}’运算为普通加法和乘法 解(2),(4),(5)不是环.为什么? (1)是环,是整环,也是域 (3)是环,不是整环和域
8 例题 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域. (1) A={a+bi |a,bQ}, i 2= −1, 运算为复数加法和乘法. (2) A={2z+1 | zZ}, 运算为普通加法和乘法 (3) A={2z | zZ}, 运算为普通加法和乘法 (4) A={ x | x≥0 ∧ xZ}, 运算为普通加法和乘法. (5) ，运算为普通加法和乘法 解 (2), (4), (5) 不是环. 为什么？ (1) 是环, 是整环, 也是域. (3) 是环, 不是整环和域. { 5 | , } 4 A = a + b a bQ
环的性质 定理设<R,+,>是环,则 (1)Va∈R,a·0=0·=0 (2)Va,beR,(ab=a(b)=-ab 3)Va,bER,(ab)=ab (4)Va,b, cEr, a(b-c)=ab-ac, (b-c)a= ba-ca
9 环的性质 定理 设<R,+,·>是环，则 (1) a∈R， a·0 = 0·a = 0 (2) a,b∈R， (−a)b = a(−b) = −ab (3) a,b∈R， (−a)(−b) = ab (4) a,b,c∈R，a(b−c) = ab−ac， (b−c)a = ba−ca
环中的运算 例在环中计算(+b)3,(a-b)2 RF(a+b)3=(a+b)(a+ba+b (al+batab+b )(a+b) a3+6a2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3 (a-b)2=(a-b)a-b)=a2-ba-ab+b2 10
10 环中的运算 例 在环中计算 (a+b) 3 , (a−b) 2 解 (a+b) 3 = (a+b)(a+b)(a+b) = (a 2+ba+ab+b 2 )(a+b) = a 3+ba2+aba+b 2a+a 2b+bab+ab2+b 3 (a−b) 2 = (a−b)(a−b)=a 2−ba−ab+b 2