62环与域 ■环的定义与实例 ■特殊的环 口交换环 口含幺环 口无零因子环 口整环 域
1 6.2 环与域 ◼ 环的定义与实例 ◼ 特殊的环 交换环 含幺环 无零因子环 整环 域
环的定义 定义设<R,+,>是代数系统,+和是二元运算. 如果满足以下条件: (1)<R,+>构成交换群 (2)<R,→>构成半群 (3)运算关于+运算适合分配律 则称<R,,>是一个环
2 环的定义 定义 设<R,+,·>是代数系统，+和·是二元运算. 如果满足以下条件: （1）<R,+>构成交换群 2）<R,·>构成半群 3）·运算关于+运算适合分配律 则称<R,+,·>是一个环
环中的术语 通常称+运算为环中的加法,·运算为环中的乘法 环中加法单位元记作0 乘法单位元(如果存在)记作1. 对任何元素x,称x的加法逆元为负元,记作一x 若x存在乘法逆元的话,则称之为逆元,记作x1
3 环中的术语 通常称+运算为环中的加法，· 运算为环中的乘法. 环中加法单位元记作 0 乘法单位元（如果存在）记作 1. 对任何元素 x，称 x 的加法逆元为负元，记作−x. 若 x 存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作 x −1
环的实例 (1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普 通的加法和乘法构成环,分别称为整数环Z,有 理数环Q,实数环R和复数环C (2)n(mn≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加 法和乘法构成环,称为n阶实矩阵环. (3)集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和 交运算构成环 (4)设Zn={0,1,,n-1},⊕和⑧分别表示模n的 加法和乘法,则<Zm⊕,⑧>构成环,称为模n的整 数环
4 环的实例 (1) 整数集、有理数集、实数集和复数集关于普 通的加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有 理数环Q，实数环R 和 复数环C. (2) n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn (R)关于矩阵的加 法和乘法构成环，称为n阶实矩阵环. (3) 集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和 交运算构成环. (4) 设Zn ＝{0,1,...,n－1}，和分别表示模n的 加法和乘法，则<Zn ,,>构成环，称为模n的整 数环
特殊的环 定义设<R,+,>是环, (1)若环中乘法适合交换律,则称R是交换环 (2)若环中乘法存在单位元,则称R是含幺环 (3)若va,b∈R,ab=0→a=0Vb=0,则称R是无 零因子环 (4)若R既是交换环、含幺环,也是无零因子环, 则称R是整环 (5)若R为整环,|R}>1,且Va∈R*=R-{0},a1∈R, 则称R为域
5 特殊的环 定义 设<R,+,·>是环， (1) 若环中乘法·适合交换律，则称 R是交换环. (2) 若环中乘法·存在单位元，则称 R是含幺环. (3) 若a, b∈R，a b=0 a=0∨b=0，则称R是无 零因子环. (4) 若 R 既是交换环、含幺环，也是无零因子环， 则称 R 是整环. (5) 若 R为整环，|R|>1, 且aR*=R-{0}，a -1R, 则称 R 为域